Номер 3.13, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.13, страница 19.

Условие.

3.13. Я собираюсь увеличить скорость суточного вращения Земли так, чтобы на экваторе ощущалась невесомость. Во сколько раз следует укоротить сутки? Не будет ли от этого каких-либо неприятных побочных эффектов?

Решение.

Решение 2.

Во сколько раз следует укоротить сутки?

Дано:

Экваториальный радиус Земли $R \approx 6378$ км
Ускорение свободного падения на экваторе $g \approx 9.78$ м/с²
Текущая продолжительность суток $T_0 = 24$ часа

$R = 6378 \times 10^3$ м $= 6.378 \times 10^6$ м
$T_0 = 24 \times 3600$ с $= 86400$ с

Найти:

Во сколько раз следует укоротить сутки, то есть найти отношение $\frac{T_0}{T}$.

Решение:
Состояние невесомости для тела на экваторе наступает тогда, когда его вес становится равным нулю. Вес тела $\text{P}$ равен разности между силой гравитационного притяжения $F_g$ и центробежной силой $F_{цб}$, возникающей из-за вращения Земли: $P = F_g - F_{цб}$. Невесомость означает $P=0$, следовательно, сила гравитационного притяжения должна быть полностью скомпенсирована центробежной силой: $F_g = F_{цб}$.
С точки зрения инерциальной системы отсчета, это означает, что сила гравитации является центростремительной силой и целиком расходуется на поддержание тела на круговой траектории.
$mg = ma_c$, где $\text{m}$ — масса тела, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, а $a_c$ — центростремительное ускорение.
Отсюда $g = a_c$.
Центростремительное ускорение связано с угловой скоростью вращения $\omega$ и радиусом $\text{R}$ соотношением $a_c = \omega^2R$.
Таким образом, условие невесомости принимает вид: $g = \omega^2R$.
Угловая скорость $\omega$ связана с периодом вращения $\text{T}$ (продолжительностью суток) формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$g = (\frac{2\pi}{T})^2 R$
Выразим из этой формулы новый, укороченный период вращения $\text{T}$, при котором на экваторе будет невесомость:
$T^2 = \frac{4\pi^2R}{g}$
$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$
Подставим числовые значения в системе СИ:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{6.378 \times 10^6 \text{ м}}{9.78 \text{ м/с}^2}} \approx 6.283 \times \sqrt{652147 \text{ с}^2} \approx 6.283 \times 807.5 \text{ с} \approx 5074 \text{ с}$
Новая продолжительность суток составит примерно $5074$ секунды, что равно около $1.4$ часа.
Теперь найдем, во сколько раз нужно укоротить текущие сутки $T_0 = 86400$ с:
Отношение $\frac{T_0}{T} = \frac{86400 \text{ с}}{5074 \text{ с}} \approx 17.02$
Ответ: Сутки следует укоротить примерно в 17 раз.

Не будет ли от этого каких-либо неприятных побочных эффектов?

Да, такое резкое увеличение скорости вращения Земли привело бы к абсолютно катастрофическим и крайне неприятным побочным эффектам, которые сделали бы планету непригодной для жизни.
1. Геологические катаклизмы. Земля имеет форму эллипсоида, сплюснутого у полюсов из-за вращения. Увеличение скорости вращения в 17 раз вызвало бы значительное усиление этой деформации. Экватор "раздулся" бы, что спровоцировало бы непрерывные мощнейшие землетрясения, извержения вулканов и движение тектонических плит по всей планете.
2. Перераспределение океанов. Под действием возросшей центробежной силы воды Мирового океана устремились бы к экватору. Это привело бы к чудовищному наводнению в экваториальных регионах (были бы затоплены целые страны и континенты) и, наоборот, к осушению огромных территорий на средних и высоких широтах, где океанское дно обнажилось бы.
3. Атмосферная катастрофа. Атмосфера, вращающаяся вместе с Землей, превратилась бы в один сплошной гигантский ураган с ветрами, дующими со скоростью в несколько раз превышающей скорость звука. Кроме того, часть атмосферы была бы просто "сброшена" в космос в районе экватора.
4. Изменение суточного цикла. Сутки продолжительностью всего 1.4 часа (примерно 42 минуты дня и 42 минуты ночи) привели бы к резким и губительным перепадам температур, что нарушило бы все существующие экосистемы и сделало бы невозможным существование сельского хозяйства и большинства форм жизни.
Ответ: Да, это привело бы к глобальной катастрофе, которая с высокой вероятностью уничтожила бы всю цивилизацию и сложную жизнь на Земле.