Номер 3.11, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.11, страница 19.

Условие.

3.11. К какому уменьшению веса тел на экваторе по сравнению с полюсом приводит вращение Земли? В каком направлении вдоль экватора и с какой скоростью $\text{v}$ должен лететь самолет, чтобы на нем этот эффект не наблюдался? Считайте Землю однородным шаром.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$
Период вращения Земли, $T = 24 \text{ ч}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$T = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

1. Относительное уменьшение веса на экваторе $\frac{\Delta P}{P_{\text{пол}}}$.
2. Направление и скорость самолета $\text{v}$.

Решение:

К какому уменьшению веса тел на экваторе по сравнению с полюсом приводит вращение Земли?

Вес тела $\text{P}$ — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. На полюсе тело не участвует во вращательном движении вокруг оси Земли, поэтому его вес равен силе тяжести:$P_{\text{пол}} = F_{\text{тяж}} = mg$

На экваторе тело вращается вместе с Землей. На него действуют две силы: сила тяжести $F_{\text{тяж}}$, направленная к центру Земли, и сила реакции опоры $\text{N}$, направленная от центра. Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц$:$F_{\text{тяж}} - N = ma_ц$

Вес тела на экваторе $P_{\text{экв}}$ по третьему закону Ньютона равен по модулю силе реакции опоры $\text{N}$. Таким образом:$mg - P_{\text{экв}} = ma_ц$$P_{\text{экв}} = mg - ma_ц$

Уменьшение веса $\Delta P$ на экваторе по сравнению с полюсом составляет:$\Delta P = P_{\text{пол}} - P_{\text{экв}} = mg - (mg - ma_ц) = ma_ц$

Центростремительное ускорение $a_ц$ на экваторе равно $a_ц = \omega^2 R_З$, где $\omega$ — угловая скорость вращения Земли.$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400 \text{ с}} \approx 7.27 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с}$

Тогда $a_ц = (7.27 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \approx 0.0338 \text{ м/с}^2$.

Найдем относительное уменьшение веса:$\frac{\Delta P}{P_{\text{пол}}} = \frac{ma_ц}{mg} = \frac{a_ц}{g} = \frac{0.0338}{9.8} \approx 0.00345$

В процентах это составляет примерно $0.345\%$.

Ответ: Вращение Земли приводит к уменьшению веса тел на экваторе примерно на $0.35\%$ по сравнению с весом на полюсе.

В каком направлении вдоль экватора и с какой скоростью v должен лететь самолет, чтобы на нем этот эффект не наблюдался?

Чтобы эффект уменьшения веса не наблюдался, вес тела в самолете $P_{\text{сам}}$ должен быть равен весу на полюсе $P_{\text{пол}}$, то есть силе тяжести $\text{mg}$.$P_{\text{сам}} = mg$

В то же время, вес тела в самолете, летящем на экваторе, определяется его абсолютной скоростью $v_{\text{абс}}$ относительно центра Земли (в инерциальной системе отсчета):$P_{\text{сам}} = mg - m \frac{v_{\text{абс}}^2}{R_З}$

Приравнивая два выражения для $P_{\text{сам}}$, получаем:$mg = mg - m \frac{v_{\text{абс}}^2}{R_З}$

Отсюда следует, что $m \frac{v_{\text{абс}}^2}{R_З} = 0$, что возможно только если абсолютная скорость самолета $v_{\text{абс}} = 0$. Это означает, что самолет должен быть неподвижен в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли.

Земля вращается с запада на восток. Линейная скорость точек на экваторе $v_З$ равна:$v_З = \omega R_З = (7.27 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с}) \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м}) \approx 465 \text{ м/с}$

Чтобы самолет был неподвижен относительно центра Земли, он должен лететь относительно поверхности Земли со скоростью $\text{v}$, равной по модулю $v_З$, но в противоположном направлении. То есть, самолет должен лететь с востока на запад.

$v = v_З \approx 465 \text{ м/с}$

Переведем скорость в км/ч для наглядности:$v = 465 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} \approx 1674 \text{ км/ч}$

Ответ: Самолет должен лететь с востока на запад со скоростью около $465 \text{ м/с}$ (или $1674 \text{ км/ч}$).