Номер 3.15, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.15, страница 19.

Условие.

3.15. Спутник обращается по круговой орбите на небольшой высоте над планетой. Период его обращения равен $\text{T}$. Сможете ли вы по этим данным найти плотность $\rho$ планеты, считая ее однородным шаром?

Решение.

Решение 2.

Дано:

T - период обращения спутника

h << R (высота орбиты много меньше радиуса планеты)

Найти:

ρ - плотность планеты

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, значит, сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны планеты, сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

$F_г = m a_ц$

где $F_г$ – сила гравитационного притяжения, $\text{m}$ – масса спутника, $a_ц$ – его центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения равна:

$F_г = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса планеты, $\text{r}$ – радиус орбиты спутника.

Центростремительное ускорение равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

где $\text{v}$ – линейная скорость спутника, а $\omega$ – его угловая скорость.

Приравняем силу тяготения и произведение массы на центростремительное ускорение:

$G \frac{M m}{r^2} = m \omega^2 r$

Сократим массу спутника $\text{m}$:

$G \frac{M}{r^3} = \omega^2$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2 \pi}{T}$

Подставим это выражение в нашу формулу:

$G \frac{M}{r^3} = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4 \pi^2}{T^2}$

По условию задачи, спутник обращается на небольшой высоте над планетой. Это означает, что радиус его орбиты $\text{r}$ можно считать приблизительно равным радиусу планеты $\text{R}$, так как $r = R + h$ и $h \ll R$, следовательно, $r \approx R$.

$G \frac{M}{R^3} = \frac{4 \pi^2}{T^2}$

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $\text{V}$. Так как планета считается однородным шаром, ее объем равен $V = \frac{4}{3} \pi R^3$. Тогда масса:

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим это выражение для массы в предыдущее уравнение:

$G \frac{\rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^3} = \frac{4 \pi^2}{T^2}$

Сократим $R^3$ в левой части:

$G \rho \frac{4}{3} \pi = \frac{4 \pi^2}{T^2}$

Теперь выразим плотность $\rho$. Сократим обе части на $4\pi$:

$G \frac{\rho}{3} = \frac{\pi}{T^2}$

Отсюда получаем итоговую формулу для плотности:

$\rho = \frac{3 \pi}{G T^2}$

Как видно из формулы, для определения плотности планеты достаточно знать период обращения спутника на низкой орбите $\text{T}$ и значение гравитационной постоянной $\text{G}$.

Ответ:

Да, можно. Плотность планеты можно найти по формуле $\rho = \frac{3 \pi}{G T^2}$.