Номер 4.5, страница 20 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.5, страница 20.

Условие.

4.5. На гладком льду лежит цилиндрическое однородное бревно длиной $\text{l}$. Один из его концов стали медленно поднимать с помощью веревки. Когда угол между бревном и поверхностью льда стал равным $\alpha$, вертикально натянутая веревка оборвалась. На какое расстояние сместится при падении бревна его нижний конец?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина однородного бревна: $\text{l}$

Угол между бревном и поверхностью льда в момент обрыва веревки: $\alpha$

Найти:

Расстояние $\text{S}$, на которое сместится нижний конец бревна.

Решение:

Рассмотрим движение бревна после обрыва веревки. На бревно действуют две внешние силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции со стороны льда, направленная вертикально вверх. Так как лед гладкий, горизонтальные силы (сила трения) отсутствуют.

Поскольку сумма проекций внешних сил на горизонтальную ось равна нулю, то, согласно закону движения центра масс, проекция ускорения центра масс на эту ось также равна нулю. В момент обрыва веревки бревно покоилось (поскольку его поднимали медленно), следовательно, начальная скорость его центра масс была равна нулю. Это означает, что центр масс бревна в процессе падения не будет перемещаться в горизонтальном направлении, и его горизонтальная координата останется постоянной.

Введем систему координат. Направим ось $\text{Ox}$ горизонтально вдоль поверхности льда. Пусть в начальный момент, когда бревно составляет угол $\alpha$ с горизонтом, его нижний конец находится в точке с координатой $x_1$. Так как бревно однородное, его центр масс находится на его середине. Горизонтальная координата центра масс в этот момент времени ($x_{c1}$) равна:

$x_{c1} = x_1 + \frac{l}{2}\cos\alpha$

После падения бревно будет лежать на льду горизонтально. Пусть его нижний конец в конечном положении имеет координату $x_2$. Горизонтальная координата центра масс в этом положении ($x_{c2}$) будет равна:

$x_{c2} = x_2 + \frac{l}{2}$

Так как горизонтальная координата центра масс сохраняется, имеем $x_{c1} = x_{c2}$:

$x_1 + \frac{l}{2}\cos\alpha = x_2 + \frac{l}{2}$

Смещение нижнего конца бревна равно $\Delta x = x_2 - x_1$. Выразим его из полученного равенства:

$\Delta x = \frac{l}{2}\cos\alpha - \frac{l}{2} = \frac{l}{2}(\cos\alpha - 1)$

Нас интересует расстояние, на которое сместился конец, то есть модуль смещения $S = |\Delta x|$. Поскольку угол $\alpha$ находится в пределах от $\text{0}$ до $90^\circ$, то $\cos\alpha \le 1$, и, следовательно, выражение $(\cos\alpha - 1)$ является неположительным. Таким образом:

$S = |\frac{l}{2}(\cos\alpha - 1)| = -\frac{l}{2}(\cos\alpha - 1) = \frac{l}{2}(1 - \cos\alpha)$

Ответ: $S = \frac{l}{2}(1 - \cos\alpha)$