Номер 4.12, страница 21 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.12, страница 21.

Условие.

4.12*. Однажды на моей космической ракете закончились запасы топлива, и мне пришлось разгонять ракету, выплевывая назад через люк вишневые косточки массой $\text{m}$ каждая со скоростью $\text{v}$ относительно ракеты. Найдите скорость ракеты $u_n$ после выплевывания $\text{n}$-й косточки. Начальная масса ракеты (со мной и с запасом вишен) равна $\text{M}$, начальная скорость равна нулю.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{m}$ - масса одной вишневой косточки

$\text{v}$ - скорость косточки относительно ракеты

$\text{M}$ - начальная масса ракеты

$u_0 = 0$ - начальная скорость ракеты

$\text{n}$ - количество выплюнутых косточек

Найти:

$u_n$ - скорость ракеты после выплевывания $\text{n}$-й косточки

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения импульса к системе "ракета + косточки". Будем рассматривать процесс пошагово для каждой выплюнутой косточки в инерциальной системе отсчета, связанной с начальным положением ракеты. Направим ось координат в сторону движения ракеты.

Рассмотрим момент выплевывания $\text{k}$-й косточки (где $\text{k}$ изменяется от 1 до $\text{n}$).

Пусть $u_{k-1}$ — скорость ракеты после выплевывания $(k-1)$-й косточки, а $M_{k-1}$ — ее масса. Тогда $M_{k-1} = M - (k-1)m$. Импульс системы до выплевывания $\text{k}$-й косточки равен:

$P_{before} = (M - (k-1)m) u_{k-1}$

После выплевывания $\text{k}$-й косточки масса ракеты становится $M_k = M - km$, а ее скорость — $u_k$. Косточка массой $\text{m}$ вылетает со скоростью $\text{v}$ относительно ракеты в направлении, противоположном ее движению. Таким образом, скорость косточки в инерциальной системе отсчета равна $u_k - v$. Импульс системы после выплевывания $\text{k}$-й косточки равен:

$P_{after} = (M - km)u_k + m(u_k - v)$

Согласно закону сохранения импульса, $P_{before} = P_{after}$:

$(M - (k-1)m) u_{k-1} = (M - km)u_k + m(u_k - v)$

Раскроем скобки и выразим $u_k$:

$(M - (k-1)m) u_{k-1} = (M - km + m)u_k - mv$

$(M - (k-1)m) u_{k-1} = (M - (k-1)m)u_k - mv$

$(M - (k-1)m)u_k = (M - (k-1)m)u_{k-1} + mv$

Отсюда получаем рекуррентное соотношение для скорости:

$u_k = u_{k-1} + \frac{mv}{M - (k-1)m}$

Это соотношение показывает, что скорость ракеты после выплевывания $\text{k}$-й косточки равна ее скорости до этого момента плюс некоторое приращение. Найдем итоговую скорость $u_n$ после выплевывания $\text{n}$ косточек, просуммировав все приращения скорости, учитывая, что начальная скорость $u_0 = 0$.

$u_n = u_0 + (u_1 - u_0) + (u_2 - u_1) + \dots + (u_n - u_{n-1})$

$u_n = \sum_{k=1}^{n} (u_k - u_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{mv}{M - (k-1)m}$

Вынесем постоянный множитель $\text{mv}$ за знак суммы:

$u_n = mv \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{M - (k-1)m}$

Распишем сумму или изменим индекс суммирования (пусть $j=k-1$, тогда $\text{j}$ меняется от 0 до $n-1$):

$u_n = mv \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{M-m} + \frac{1}{M-2m} + \dots + \frac{1}{M-(n-1)m} \right)$

Ответ: Скорость ракеты $u_n$ после выплевывания $\text{n}$-й косточки выражается формулой: $u_n = mv \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{M - km}$.