Номер 4.13, страница 21 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.13, страница 21.

Условие.

4.13. Какая минимальная работа $\text{A}$ совершается при подъеме на крышу веревки длиной $l = 40$ м и массой $m = 6$ кг? В начальный момент вся веревка свешивалась вертикально с края крыши.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина веревки, $l = 40$ м

Масса веревки, $m = 6$ кг

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Минимальная работа, $\text{A}$

Решение:

Минимальная работа, совершаемая при подъеме тела в поле силы тяжести, равна изменению его потенциальной энергии. Работа против силы тяжести идет на увеличение потенциальной энергии веревки.

$A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$

Потенциальная энергия тела с распределенной массой определяется высотой его центра масс над условным нулевым уровнем: $E_p = mgh_{cm}$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии уровень крыши.

В начальном состоянии веревка свешивается вертикально. Так как веревка однородна, ее центр масс находится посередине, то есть на глубине $h_1 = \frac{l}{2}$ ниже края крыши. Таким образом, начальная высота центра масс относительно нулевого уровня: $h_{cm1} = -\frac{l}{2}$.

Начальная потенциальная энергия веревки:

$E_{p1} = mgh_{cm1} = -mg\frac{l}{2}$

В конечном состоянии вся веревка поднята на крышу. Ее центр масс находится на уровне крыши, следовательно, его высота $h_{cm2} = 0$.

Конечная потенциальная энергия веревки:

$E_{p2} = mgh_{cm2} = mg \cdot 0 = 0$

Тогда минимальная работа по подъему веревки равна:

$A = E_{p2} - E_{p1} = 0 - (-mg\frac{l}{2}) = mg\frac{l}{2}$

Эта формула показывает, что работа по подъему веревки равна работе по подъему тела той же массы на высоту, равную половине длины веревки, то есть на высоту, на которую поднимается центр масс веревки.

Подставим числовые значения в формулу:

$A = 6 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{40 \text{ м}}{2} = 6 \cdot 9.8 \cdot 20 = 1176 \text{ Дж}$

Ответ: $A = 1176$ Дж.