Номер 4.10, страница 21 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.10, страница 21.

Условие.

4.10*. На гладком столе находится обруч массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$. По обручу ползет жук массой $\text{m}$. По каким траекториям движутся жук и центр обруча?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса обруча: $\text{M}$

Радиус обруча: $\text{R}$

Масса жука: $\text{m}$

Найти:

Траектории движения жука и центра обруча.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из обруча и жука. Поскольку стол, на котором находится обруч, гладкий, это означает, что в горизонтальной плоскости на систему не действуют внешние силы. Силы тяжести и нормальные силы реакции опоры действуют в вертикальном направлении и скомпенсированы.

Согласно закону сохранения импульса, если сумма внешних сил, действующих на систему, в некотором направлении равна нулю, то проекция импульса системы на это направление сохраняется. В нашем случае суммарный импульс системы в горизонтальной плоскости сохраняется. Так как система первоначально находилась в состоянии покоя, ее суммарный импульс был равен нулю и остается таковым в процессе всего движения.

Положение центра масс системы $\vec{r}_{цм}$ определяется формулой: $\vec{r}_{цм} = \frac{M\vec{r}_{M} + m\vec{r}_{m}}{M+m}$, где $\vec{r}_{M}$ — радиус-вектор центра обруча, а $\vec{r}_{m}$ — радиус-вектор жука.

Скорость центра масс системы $\vec{v}_{цм}$ связана с полным импульсом системы $\vec{p}_{общ}$ как $\vec{p}_{общ} = (M+m)\vec{v}_{цм}$. Поскольку $\vec{p}_{общ} = \vec{0}$, то и скорость центра масс $\vec{v}_{цм} = \vec{0}$. Это означает, что центр масс системы "обруч-жук" остается неподвижным в течение всего времени движения.

Для удобства выберем инерциальную систему отсчета, начало которой $\text{O}$ совпадает с неподвижным центром масс системы. В этой системе отсчета радиус-вектор центра масс $\vec{r}_{цм}$ всегда равен нулю. Следовательно, для любого момента времени справедливо соотношение: $M\vec{r}_{M} + m\vec{r}_{m} = \vec{0}$ (1)

Условие того, что жук ползет по обручу, означает, что расстояние между жуком и центром обруча всегда постоянно и равно радиусу обруча $\text{R}$. Это можно записать в виде: $|\vec{r}_{m} - \vec{r}_{M}| = R$ (2)

Теперь определим траекторию движения центра обруча. Из уравнения (1) выразим радиус-вектор жука $\vec{r}_{m}$: $\vec{r}_{m} = -\frac{M}{m}\vec{r}_{M}$. Подставим это выражение в уравнение (2): $|-\frac{M}{m}\vec{r}_{M} - \vec{r}_{M}| = R$.

Вынося $\vec{r}_{M}$ за скобки, получаем: $|-(\frac{M}{m} + 1)\vec{r}_{M}| = R$, что эквивалентно $(\frac{M+m}{m})|\vec{r}_{M}| = R$. Отсюда находим модуль радиус-вектора центра обруча: $|\vec{r}_{M}| = \frac{mR}{M+m}$.

Поскольку $|\vec{r}_{M}|$ — это расстояние от центра обруча до начала координат (то есть до неподвижного центра масс системы), и это расстояние является постоянной величиной, то траектория центра обруча представляет собой окружность. Радиус этой окружности $R_M = \frac{mR}{M+m}$, а ее центр находится в центре масс системы.

Аналогично определим траекторию движения жука. Из уравнения (1) выразим радиус-вектор центра обруча $\vec{r}_{M}$: $\vec{r}_{M} = -\frac{m}{M}\vec{r}_{m}$. Подставим это выражение в уравнение (2): $|\vec{r}_{m} - (-\frac{m}{M}\vec{r}_{m})| = R$.

Упрощая, получаем: $|(1 + \frac{m}{M})\vec{r}_{m}| = R$, или $(\frac{M+m}{M})|\vec{r}_{m}| = R$. Отсюда модуль радиус-вектора жука равен: $|\vec{r}_{m}| = \frac{MR}{M+m}$.

Так как $|\vec{r}_{m}|$ — расстояние от жука до начала координат (центра масс системы) — также является постоянной величиной, то траектория движения жука тоже является окружностью. Радиус этой окружности $R_m = \frac{MR}{M+m}$, а ее центр находится в центре масс системы.

Из уравнения (1) следует, что векторы $\vec{r}_{M}$ и $\vec{r}_{m}$ всегда направлены в противоположные стороны от центра масс, то есть жук и центр обруча всегда находятся на одной прямой, проходящей через центр масс, но по разные стороны от него.

Ответ:

Центр обруча и жук движутся по окружностям, центр которых находится в неподвижном центре масс системы "обруч-жук".

Радиус траектории центра обруча: $R_M = \frac{mR}{M+m}$.

Радиус траектории жука: $R_m = \frac{MR}{M+m}$.