Номер 4.17, страница 22 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.17, страница 22.

Условие.

4.17*. Ракета массой $\text{M}$ с работающим двигателем неподвижно «зависла» над землей. Скорость вытекающих из ракеты газов равна $\text{u}$. Какова мощность $\text{N}$ двигателя?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса ракеты: $\text{M}$
Скорость вытекающих газов относительно ракеты: $\text{u}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Мощность двигателя: $\text{N}$

Решение:

Поскольку ракета неподвижно «зависла» над землей, ее ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, это означает, что сумма всех сил, действующих на ракету, равна нулю. На ракету действуют две силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и реактивная сила тяги $F_т$, создаваемая двигателем и направленная вверх. Условие равновесия ракеты имеет вид:

$F_т = F_g$

Сила тяжести определяется как $F_g = Mg$. Следовательно, сила тяги двигателя должна быть равна:

$F_т = Mg$

Реактивная сила тяги создается за счет отбрасывания массы газов. Она равна произведению секундного расхода массы $\mu = \frac{dm}{dt}$ (масса газов, выбрасываемая за единицу времени) на скорость истечения газов $\text{u}$ относительно ракеты:

$F_т = \mu u$

Приравнивая два выражения для силы тяги, получаем: $\mu u = Mg$. Отсюда можем выразить секундный расход массы:

$\mu = \frac{Mg}{u}$

Мощность двигателя $\text{N}$ — это энергия, сообщаемая вытекающим газам за единицу времени. За малый промежуток времени $\text{dt}$ двигатель выбрасывает массу газа $dm = \mu dt$. Поскольку ракета неподвижна, скорость газов относительно земли также равна $\text{u}$. Кинетическая энергия этой массы газа составляет:

$dE_k = \frac{dm \cdot u^2}{2} = \frac{(\mu dt) u^2}{2}$

Мощность $\text{N}$ по определению равна $N = \frac{dE_k}{dt}$:

$N = \frac{\frac{1}{2} \mu u^2 dt}{dt} = \frac{1}{2} \mu u^2$

Теперь подставим в это выражение найденное ранее значение для секундного расхода массы $\mu$:

$N = \frac{1}{2} \left( \frac{Mg}{u} \right) u^2$

Сократив $\text{u}$, получаем окончательную формулу для мощности двигателя:

$N = \frac{1}{2} Mgu$

Ответ: $N = \frac{1}{2} Mgu$.