Номер 4.23, страница 23 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.23, страница 23.

Условие.

4.23* Однажды мне понадобилось втащить на возвышенность ящик с пушечными ядрами (см. рисунок). К моему удивлению, скорость движения не изменилась и после того, как ящик прошел край склона (точку А) и стал двигаться горизонтально. Каков коэффициент трения $\mu$ между ящиком и землей? Мощность двигателя все время оставалась неизменной. Склон образует угол $\alpha = 45^\circ$ с горизонтом. Трением между тросом и дорогой можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость движения ящика постоянна: $v = \text{const}$

Мощность двигателя постоянна: $P = \text{const}$

Угол наклона склона: $\alpha = 45^\circ$

Найти:

Коэффициент трения: $\mu$

Решение:

Поскольку мощность двигателя $\text{P}$ и скорость движения ящика $\text{v}$ постоянны, то сила тяги $\text{T}$, передаваемая через трос, также является постоянной величиной, так как $P = T \cdot v$. Рассмотрим движение ящика на двух участках: на наклонной плоскости и на горизонтальной поверхности.

1. Движение ящика по наклонной плоскости.

На ящик действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N_1}$, сила трения $\vec{F}_{тр1}$ и сила натяжения троса $\vec{T}$. Так как ящик движется равномерно, то согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил равна нулю:

$\vec{T} + m\vec{g} + \vec{N_1} + \vec{F}_{тр1} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY перпендикулярно ей.

Проекция на ось OY:

$N_1 - mg \cos \alpha = 0 \implies N_1 = mg \cos \alpha$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр1} = \mu N_1$, следовательно:

$F_{тр1} = \mu mg \cos \alpha$

Проекция на ось OX:

$T - F_{тр1} - mg \sin \alpha = 0$

Подставим выражение для силы трения и выразим силу натяжения троса $\text{T}$:

$T = mg \sin \alpha + F_{тр1} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$

2. Движение ящика по горизонтальной поверхности.

На ящик действуют те же четыре силы, но направленные иначе: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N_2}$, сила трения $\vec{F}_{тр2}$ и сила натяжения троса $\vec{T}$. Движение также равномерное, поэтому равнодействующая сил равна нулю.

$\vec{T} + m\vec{g} + \vec{N_2} + \vec{F}_{тр2} = 0$

Направим ось OX горизонтально по направлению движения, а ось OY вертикально вверх.

Проекция на ось OY:

$N_2 - mg = 0 \implies N_2 = mg$

Сила трения скольжения $F_{тр2} = \mu N_2$, следовательно:

$F_{тр2} = \mu mg$

Проекция на ось OX:

$T - F_{тр2} = 0 \implies T = F_{тр2}$

Таким образом, сила натяжения троса на горизонтальном участке равна:

$T = \mu mg$

3. Нахождение коэффициента трения $\mu$.

Так как сила натяжения троса $\text{T}$ была постоянной на всём пути, мы можем приравнять выражения для $\text{T}$, полученные для обоих участков:

$mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) = \mu mg$

Сократим обе части уравнения на $\text{mg}$ (масса и ускорение свободного падения не равны нулю):

$\sin \alpha + \mu \cos \alpha = \mu$

Выразим отсюда коэффициент трения $\mu$:

$\sin \alpha = \mu - \mu \cos \alpha$

$\sin \alpha = \mu(1 - \cos \alpha)$

$\mu = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha}$

Подставим заданное значение угла $\alpha = 45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\mu = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 + \sqrt{2})$:

$\mu = \frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$

Ответ: Коэффициент трения $\mu = \sqrt{2} + 1$.