Номер 4.21, страница 22 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.21, страница 22.

Условие.

4.21*. Бассейн площадью $S = 100 \text{ м}^2$ заполнен водой до уровня $h = 2 \text{ м}$ и разделен пополам подвижной вертикальной перегородкой. Перегородку медленно передвинули так, что она разделила площадь бассейна в отношении $1 : 3$. Какую работу $\text{A}$ пришлось при этом совершить? Вода не проникала через перегородку и не переливалась через край бассейна.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$S = 100 \text{ м}^2$

$h = 2 \text{ м}$

Начальное отношение площадей: $1:1$

Конечное отношение площадей: $1:3$

Плотность воды: $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{A}$

Решение:

Работа $\text{A}$, совершенная при медленном перемещении перегородки, равна изменению потенциальной энергии воды в бассейне, так как изменение кинетической энергии равно нулю.

$A = \Delta E_p = E_{p, \text{конечная}} - E_{p, \text{начальная}}$

Потенциальная энергия столба воды высотой $h_{уровня}$ и площадью основания $S_{основания}$ рассчитывается относительно дна по формуле $E_p = m g h_{цм} = (\rho S_{основания} h_{уровня}) g (h_{уровня}/2) = \frac{1}{2}\rho g S_{основания} h_{уровня}^2$.

В начальном состоянии весь бассейн имеет площадь $\text{S}$ и уровень воды $\text{h}$. Начальная потенциальная энергия системы:

$E_{p, \text{начальная}} = \frac{1}{2}\rho g S h^2$

Изначально бассейн разделен пополам, поэтому объемы воды в каждой части равны: $V_1 = V_2 = \frac{S}{2}h$.

В конечном состоянии перегородка делит площадь бассейна в отношении $1:3$. Площади новых частей:

$S'_1 = \frac{1}{4}S$

$S'_2 = \frac{3}{4}S$

Согласно условию, вода не проникает через перегородку, следовательно, объемы $V_1$ и $V_2$ сохраняются в новых площадях $S'_1$ и $S'_2$ соответственно. Новые уровни воды в частях бассейна:

$h'_1 = \frac{V_1}{S'_1} = \frac{(S/2)h}{S/4} = 2h$

$h'_2 = \frac{V_2}{S'_2} = \frac{(S/2)h}{(3S/4)} = \frac{2}{3}h$

Конечная потенциальная энергия системы является суммой потенциальных энергий воды в двух частях:

$E_{p, \text{конечная}} = \frac{1}{2}\rho g S'_1 (h'_1)^2 + \frac{1}{2}\rho g S'_2 (h'_2)^2 = \frac{1}{2}\rho g \left( \frac{S}{4}(2h)^2 + \frac{3S}{4}(\frac{2}{3}h)^2 \right)$

$E_{p, \text{конечная}} = \frac{1}{2}\rho g \left( \frac{S}{4} \cdot 4h^2 + \frac{3S}{4} \cdot \frac{4h^2}{9} \right) = \frac{1}{2}\rho g \left( Sh^2 + \frac{Sh^2}{3} \right) = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2}\rho g S h^2 \right)$

Таким образом, конечная потенциальная энергия связана с начальной как $E_{p, \text{конечная}} = \frac{4}{3}E_{p, \text{начальная}}$.

Теперь можем найти работу:

$A = E_{p, \text{конечная}} - E_{p, \text{начальная}} = \frac{4}{3}E_{p, \text{начальная}} - E_{p, \text{начальная}} = \frac{1}{3}E_{p, \text{начальная}}$

Подставим выражение для начальной энергии:

$A = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}\rho g S h^2 \right) = \frac{1}{6}\rho g S h^2$

Выполним расчет, подставив числовые значения:

$A = \frac{1}{6} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ м}^2 \cdot (2 \text{ м})^2 = \frac{1}{6} \cdot 1000 \cdot 10 \cdot 100 \cdot 4 = \frac{4 \cdot 10^6}{6} = \frac{2}{3} \cdot 10^6 \text{ Дж}$.

Ответ: $A = \frac{2}{3} \cdot 10^6 \text{ Дж} \approx 0.67 \text{ МДж}$.