Номер 4.24, страница 23 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.24, страница 23.

Условие.

4.24*. Автомобиль движется вверх по пологому склону со скоростью $v_1 = 6 \text{ м/с}$ и спускается по той же дороге со скоростью $v_2 = 9 \text{ м/с}$. С какой скоростью $\text{v}$ будет ехать этот автомобиль по горизонтальному участку этой же дороги? Мощность двигателя все время остается неизменной. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_1 = 6$ м/с

$v_2 = 9$ м/с

$P = \text{const}$

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Мощность двигателя автомобиля $\text{P}$ постоянна и определяется формулой $P = F_{\text{тяги}} \cdot v$, где $F_{\text{тяги}}$ — сила тяги, а $\text{v}$ — скорость автомобиля.

Рассмотрим три случая движения автомобиля с постоянной скоростью. В каждом случае, согласно первому закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на автомобиль в направлении движения, равна нулю.

1. Движение вверх по склону со скоростью $v_1$.

На автомобиль действуют: сила тяги $F_{\text{тяги1}}$, направленная вверх по склону; сила сопротивления (трения) $F_{\text{сопр}}$, направленная вниз по склону; и составляющая силы тяжести, параллельная склону, $mg \sin(\alpha)$, также направленная вниз. Условие равновесия сил:

$F_{\text{тяги1}} = F_{\text{сопр}} + mg \sin(\alpha)$

Мощность двигателя в этом случае:

$P = F_{\text{тяги1}} \cdot v_1 = (F_{\text{сопр}} + mg \sin(\alpha)) \cdot v_1$ (1)

2. Движение вниз по склону со скоростью $v_2$.

На автомобиль действуют: сила тяги $F_{\text{тяги2}}$, направленная вниз по склону; сила сопротивления $F_{\text{сопр}}$, направленная вверх по склону; и составляющая силы тяжести $mg \sin(\alpha)$, направленная вниз по склону. Условие равновесия сил:

$F_{\text{тяги2}} + mg \sin(\alpha) = F_{\text{сопр}}$

$F_{\text{тяги2}} = F_{\text{сопр}} - mg \sin(\alpha)$

Мощность двигателя в этом случае:

$P = F_{\text{тяги2}} \cdot v_2 = (F_{\text{сопр}} - mg \sin(\alpha)) \cdot v_2$ (2)

3. Движение по горизонтальному участку со скоростью $\text{v}$.

На автомобиль действуют: сила тяги $F_{\text{тяги}}$, направленная вперед, и сила сопротивления $F_{\text{сопр}}$, направленная назад. Составляющая силы тяжести равна нулю. Условие равновесия сил:

$F_{\text{тяги}} = F_{\text{сопр}}$

Мощность двигателя в этом случае:

$P = F_{\text{тяги}} \cdot v = F_{\text{сопр}} \cdot v$ (3)

Теперь решим систему из трех уравнений. Выразим из уравнений (1) и (2) силу сопротивления и составляющую силы тяжести:

Из (1): $\frac{P}{v_1} = F_{\text{сопр}} + mg \sin(\alpha)$

Из (2): $\frac{P}{v_2} = F_{\text{сопр}} - mg \sin(\alpha)$

Сложим эти два выражения, чтобы исключить составляющую силы тяжести:

$\frac{P}{v_1} + \frac{P}{v_2} = 2F_{\text{сопр}}$

Вынесем $\text{P}$ за скобки:

$P \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) = 2F_{\text{сопр}}$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $F_{\text{сопр}}$ из уравнения (3): $F_{\text{сопр}} = \frac{P}{v}$.

$P \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) = 2 \frac{P}{v}$

Сократим постоянную мощность $\text{P}$ (так как $P \neq 0$):

$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{2}{v}$

Выразим отсюда искомую скорость $\text{v}$:

$\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2} = \frac{2}{v}$

$v = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{2 \cdot 6 \, \text{м/с} \cdot 9 \, \text{м/с}}{6 \, \text{м/с} + 9 \, \text{м/с}} = \frac{108 \, (\text{м/с})^2}{15 \, \text{м/с}} = 7.2 \, \text{м/с}$

Ответ: $v = 7.2$ м/с.