Номер 4.31, страница 24 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.31, страница 24.

Условие.

4.31. Деревянный брусок висит на шнуре длиной $\text{l}$. В брусок выстрелили, пуля застряла в нем, и шнур отклонился от вертикали на угол $\alpha$. Какова скорость пули $v_0$? Масса бруска $\text{M}$, масса пули $\text{m}$. Пуля летела горизонтально.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина шнура: $\text{l}$
Масса бруска: $\text{M}$
Масса пули: $\text{m}$
Угол отклонения: $\alpha$

Найти:

Начальная скорость пули: $v_0$

Решение:

Задачу можно разбить на два этапа:
1. Абсолютно неупругое столкновение пули и бруска.
2. Движение бруска с застрявшей в нем пулей по дуге окружности (движение маятника).

Рассмотрим первый этап – столкновение. Для системы тел "пуля + брусок" в момент столкновения выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось, так как внешние силы (сила тяжести и сила натяжения шнура) действуют вертикально и не изменяют горизонтальный импульс системы.

Импульс системы до столкновения равен импульсу пули (поскольку брусок покоился):
$p_{до} = m v_0$

После столкновения пуля застревает в бруске, и они движутся вместе со скоростью $\text{u}$. Импульс системы после столкновения:
$p_{после} = (m + M) u$

Согласно закону сохранения импульса:
$m v_0 = (m + M) u$

Отсюда выразим искомую скорость пули $v_0$:
$v_0 = \frac{m + M}{m} u$ (1)

Теперь рассмотрим второй этап – движение маятника. После столкновения система "брусок + пуля" обладает кинетической энергией и начинает подниматься. Для этого движения выполняется закон сохранения механической энергии, так как сила натяжения шнура перпендикулярна скорости и работы не совершает, а сила тяжести является консервативной.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии начальное положение бруска.
В начальный момент (сразу после столкновения) система обладает только кинетической энергией:
$E_1 = \frac{(m + M)u^2}{2}$

В конечный момент, когда шнур отклоняется на максимальный угол $\alpha$, скорость системы становится равной нулю, и вся энергия переходит в потенциальную. Высоту подъема $\text{h}$ найдем из геометрии:
$h = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$

Энергия системы в конечной точке:
$E_2 = (m + M)gh = (m + M)gl(1 - \cos\alpha)$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:
$\frac{(m + M)u^2}{2} = (m + M)gl(1 - \cos\alpha)$

Сократив массу $(m + M)$, получим:
$\frac{u^2}{2} = gl(1 - \cos\alpha)$

Отсюда найдем скорость $\text{u}$ системы сразу после столкновения:
$u = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$ (2)

Подставим выражение (2) для скорости $\text{u}$ в формулу (1), чтобы найти начальную скорость пули $v_0$:
$v_0 = \frac{m + M}{m} \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$

Ответ: $v_0 = \frac{m + M}{m} \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$