Номер 4.34, страница 24 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.34, страница 24.

Условие.

4.34*. Однажды я забыл мешок с порохом в вагоне, стоявшем на кольцевом железнодорожном пути. От случайной искры мешок взорвался и вагон раскололся на две неравные части. Они понеслись по рельсам друг от друга, в некоторой точке столкнулись снова, и буферные пружины растолкнули их. При втором же столкновении части вагона соединились намертво, как будто взрыва и не было! Какой путь прошла каждая из частей вагона до первого столкновения? От первого до второго? Массы частей вагона $m_1$ и $m_2$, длина кольцевого пути $\text{L}$. Трением можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Массы частей вагона: $m_1$ и $m_2$.

Длина кольцевого пути: $\text{L}$.

Найти:

1. Пути $s_1$ и $s_2$, пройденные каждой из частей вагона до первого столкновения.

2. Пути $s'_1$ и $s'_2$, пройденные каждой из частей вагона от первого до второго столкновения.

Решение:

Поскольку вагон до взрыва покоился, его суммарный импульс был равен нулю. Взрыв является внутренним процессом для системы, состоящей из двух частей вагона, поэтому закон сохранения импульса выполняется. Суммарный импульс системы после взрыва также равен нулю.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — модули скоростей частей вагона с массами $m_1$ и $m_2$ соответственно после взрыва. Так как они движутся в противоположные стороны, закон сохранения импульса в проекции на ось, совпадающую с направлением движения, можно записать как:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0$

Отсюда следует, что модули импульсов частей равны:

$m_1 v_1 = m_2 v_2$

Из этого соотношения найдем отношение скоростей частей:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Какой путь прошла каждая из частей вагона до первого столкновения?

Части вагона движутся навстречу друг другу по кольцевому пути. Их первая встреча произойдет, когда сумма пройденных ими путей станет равна длине кольца $\text{L}$. Обозначим эти пути $s_1$ и $s_2$.

$s_1 + s_2 = L$

Поскольку до столкновения части движутся в течение одинакового времени $t_1$, пройденные ими пути можно выразить как $s_1 = v_1 t_1$ и $s_2 = v_2 t_1$. Отношение путей равно отношению скоростей:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{v_1 t_1}{v_2 t_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $s_1$ и $s_2$:

$\begin{cases} s_1 + s_2 = L \\ s_1 m_1 = s_2 m_2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $s_2 = s_1 \frac{m_1}{m_2}$ и подставим в первое:

$s_1 + s_1 \frac{m_1}{m_2} = L$

$s_1 (1 + \frac{m_1}{m_2}) = L$

$s_1 (\frac{m_2 + m_1}{m_2}) = L$

Отсюда находим путь, пройденный первой частью:

$s_1 = \frac{L m_2}{m_1 + m_2}$

Путь, пройденный второй частью, равен:

$s_2 = L - s_1 = L - \frac{L m_2}{m_1 + m_2} = \frac{L(m_1 + m_2) - L m_2}{m_1 + m_2} = \frac{L m_1}{m_1 + m_2}$

Ответ: До первого столкновения первая часть прошла путь $s_1 = \frac{L m_2}{m_1 + m_2}$, а вторая — $s_2 = \frac{L m_1}{m_1 + m_2}$.

От первого до второго?

В условии сказано, что при первом столкновении "буферные пружины растолкнули их". Это означает, что столкновение было упругим. При упругом лобовом столкновении двух тел, движущихся навстречу с равными по модулю импульсами, они разлетаются в противоположные стороны, сохранив модули своих скоростей. То есть после столкновения первая часть будет двигаться со скоростью $v_1$, а вторая — со скоростью $v_2$, но в обратных направлениях.

Таким образом, после первого столкновения части вагона снова движутся навстречу друг другу по кольцевому пути с теми же по модулю скоростями, что и после взрыва. Это означает, что для второй встречи им потребуется пройти точно такие же расстояния. Пути, пройденные частями вагона между первым и вторым столкновениями ($s'_1$ и $s'_2$), будут равны путям, пройденным до первого столкновения.

$s'_1 = s_1 = \frac{L m_2}{m_1 + m_2}$

$s'_2 = s_2 = \frac{L m_1}{m_1 + m_2}$

Стоит отметить, что второе столкновение произойдет в той же точке, где произошел взрыв. Это следует из того, что центр масс системы оставался неподвижным в точке взрыва. После второго, абсолютно неупругого столкновения ("соединились намертво"), вагон останавливается, а значит, он должен остановиться в точке нахождения центра масс.

Ответ: От первого до второго столкновения части вагона прошли такие же пути, как и до первого: первая часть прошла путь $s'_1 = \frac{L m_2}{m_1 + m_2}$, а вторая — $s'_2 = \frac{L m_1}{m_1 + m_2}$.