Номер 4.40, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.40, страница 25.

Условие.

4.40. Шар массой $\text{m}$, движущийся со скоростью $\text{v}$, налетел на покоящийся шар массой $m/2$ и после упругого удара изменил направление своего движения на угол $\alpha = 30^\circ$. С какими скоростями движутся шары после удара?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Начальная скорость первого шара: $\vec{v_1} = \vec{v}$

Масса второго шара: $m_2 = m/2$

Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$

Угол отклонения первого шара после удара: $\alpha = 30^\circ$

Удар абсолютно упругий.

Найти:

Скорость первого шара после удара: $v'_1$

Скорость второго шара после удара: $v'_2$

Решение:

При упругом ударе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Выберем систему координат так, чтобы ось $\text{OX}$ была направлена вдоль вектора начальной скорости первого шара $\vec{v}$. Ось $\text{OY}$ перпендикулярна оси $\text{OX}$.

Пусть после удара первый шар движется со скоростью $v'_1$ под углом $\alpha$ к оси $\text{OX}$, а второй шар — со скоростью $v'_2$ под углом $\beta$ к оси $\text{OX}$ (в противоположную сторону от первого шара, чтобы скомпенсировать импульс по оси $\text{OY}$).

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v'_1} + m_2\vec{v'_2}$

Подставим наши значения:

$m\vec{v} = m\vec{v'_1} + \frac{m}{2}\vec{v'_2}$

Спроецируем это уравнение на оси координат:

Проекция на ось $\text{OX}$: $mv = mv'_1 \cos\alpha + \frac{m}{2}v'_2 \cos\beta$

Проекция на ось $\text{OY}$: $0 = mv'_1 \sin\alpha - \frac{m}{2}v'_2 \sin\beta$

Сократим массу $\text{m}$ в обоих уравнениях:

(1) $v = v'_1 \cos\alpha + \frac{1}{2}v'_2 \cos\beta$

(2) $v'_1 \sin\alpha = \frac{1}{2}v'_2 \sin\beta$

Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2}$

$\frac{m v^2}{2} = \frac{m (v'_1)^2}{2} + \frac{(m/2) (v'_2)^2}{2}$

Сократив $\frac{m}{2}$, получим:

(3) $v^2 = (v'_1)^2 + \frac{1}{2}(v'_2)^2$

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными: $v'_1, v'_2, \beta$. Выразим из уравнений (1) и (2) слагаемые с $\beta$:

Из (1): $\frac{1}{2}v'_2 \cos\beta = v - v'_1 \cos\alpha$

Из (2): $\frac{1}{2}v'_2 \sin\beta = v'_1 \sin\alpha$

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их, чтобы избавиться от угла $\beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$(\frac{1}{2}v'_2)^2(\cos^2\beta + \sin^2\beta) = (v - v'_1 \cos\alpha)^2 + (v'_1 \sin\alpha)^2$

$\frac{1}{4}(v'_2)^2 = v^2 - 2vv'_1 \cos\alpha + (v'_1)^2\cos^2\alpha + (v'_1)^2\sin^2\alpha$

$\frac{1}{4}(v'_2)^2 = v^2 - 2vv'_1 \cos\alpha + (v'_1)^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$

(4) $\frac{1}{4}(v'_2)^2 = v^2 - 2vv'_1 \cos\alpha + (v'_1)^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений (3) и (4) с двумя неизвестными $v'_1$ и $v'_2$. Выразим $(v'_2)^2$ из уравнения (4) и подставим в уравнение (3).

$(v'_2)^2 = 4(v^2 - 2vv'_1 \cos\alpha + (v'_1)^2)$

Подставляем в (3):

$v^2 = (v'_1)^2 + \frac{1}{2}[4(v^2 - 2vv'_1 \cos\alpha + (v'_1)^2)]$

$v^2 = (v'_1)^2 + 2v^2 - 4vv'_1 \cos\alpha + 2(v'_1)^2$

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение относительно $v'_1$:

$3(v'_1)^2 - (4v \cos\alpha)v'_1 + v^2 = 0$

Подставим значение угла $\alpha = 30^\circ$, для которого $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$3(v'_1)^2 - (4v \frac{\sqrt{3}}{2})v'_1 + v^2 = 0$

$3(v'_1)^2 - (2v\sqrt{3})v'_1 + v^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (2v\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot v^2 = 4v^2 \cdot 3 - 12v^2 = 12v^2 - 12v^2 = 0$

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет единственный корень:

$v'_1 = \frac{2v\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{v\sqrt{3}}{3} = \frac{v}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем скорость второго шара $v'_2$, используя уравнение (3):

$(v'_2)^2 = 2(v^2 - (v'_1)^2) = 2(v^2 - (\frac{v}{\sqrt{3}})^2) = 2(v^2 - \frac{v^2}{3}) = 2(\frac{2v^2}{3}) = \frac{4v^2}{3}$

$v'_2 = \sqrt{\frac{4v^2}{3}} = \frac{2v}{\sqrt{3}}$

Ответ: Скорость первого шара после удара $v'_1 = \frac{v}{\sqrt{3}}$, скорость второго шара $v'_2 = \frac{2v}{\sqrt{3}}$.