Номер 4.44, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.44, страница 26.

Условие.

4.44* Докажите, что при соударении двух тел изменение их суммарной кинетической энергии не зависит от того, в какой системе отсчета рассматривается процесс.

Решение.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО): $\text{K}$ и $K'$. Пусть система $K'$ движется относительно системы $\text{K}$ с постоянной скоростью $\vec{V}$.

Пусть в системе отсчета $\text{K}$ два тела массами $m_1$ и $m_2$ до соударения имеют скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, а после соударения — скорости $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$.

Изменение суммарной кинетической энергии в ИСО $\text{K}$ составляет:

$\Delta E_k = E_{k, посл} - E_{k, нач} = \left(\frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}\right) - \left(\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}\right)$

Теперь рассмотрим те же тела в системе отсчета $K'$. Согласно закону сложения скоростей Галилея, скорости тел в системе $K'$ будут:

До соударения: $\vec{v'}_1 = \vec{v}_1 - \vec{V}$ и $\vec{v'}_2 = \vec{v}_2 - \vec{V}$

После соударения: $\vec{u'}_1 = \vec{u}_1 - \vec{V}$ и $\vec{u'}_2 = \vec{u}_2 - \vec{V}$

Изменение суммарной кинетической энергии в ИСО $K'$ равно:

$\Delta E'_k = \left(\frac{m_1 {u'}_1^2}{2} + \frac{m_2 {u'}_2^2}{2}\right) - \left(\frac{m_1 {v'}_1^2}{2} + \frac{m_2 {v'}_2^2}{2}\right)$

Подставим выражения для скоростей из ИСО $\text{K}$ в выражение для $\Delta E'_k$:

$\Delta E'_k = \frac{m_1 (\vec{u}_1 - \vec{V})^2}{2} + \frac{m_2 (\vec{u}_2 - \vec{V})^2}{2} - \left[\frac{m_1 (\vec{v}_1 - \vec{V})^2}{2} + \frac{m_2 (\vec{v}_2 - \vec{V})^2}{2}\right]$

Раскроем квадраты скалярных произведений векторов, используя формулу $(\vec{a} - \vec{b})^2 = a^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + b^2$:

$\Delta E'_k = \frac{m_1}{2}(u_1^2 - 2\vec{u}_1 \cdot \vec{V} + V^2) + \frac{m_2}{2}(u_2^2 - 2\vec{u}_2 \cdot \vec{V} + V^2) - \frac{m_1}{2}(v_1^2 - 2\vec{v}_1 \cdot \vec{V} + V^2) - \frac{m_2}{2}(v_2^2 - 2\vec{v}_2 \cdot \vec{V} + V^2)$

Сгруппируем слагаемые:

$\Delta E'_k = \left(\frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2} - \frac{m_1 v_1^2}{2} - \frac{m_2 v_2^2}{2}\right) - (m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2)\cdot\vec{V} + (m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2)\cdot\vec{V} + \left(\frac{m_1 V^2}{2} + \frac{m_2 V^2}{2} - \frac{m_1 V^2}{2} - \frac{m_2 V^2}{2}\right)$

Первая группа слагаемых в скобках — это изменение кинетической энергии в системе $\text{K}$, то есть $\Delta E_k$. Последняя группа слагаемых, содержащих $V^2$, взаимно уничтожается. Таким образом, получаем:

$\Delta E'_k = \Delta E_k + [(m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2) - (m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2)] \cdot \vec{V}$

Выражения в круглых скобках представляют собой суммарный импульс системы до соударения ($\vec{p}_{нач} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$) и после соударения ($\vec{p}_{посл} = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2$).

$\Delta E'_k = \Delta E_k + (\vec{p}_{нач} - \vec{p}_{посл}) \cdot \vec{V}$

Для замкнутой системы, какой является система из двух соударяющихся тел (внешние силы пренебрежимо малы по сравнению с внутренними силами взаимодействия), выполняется закон сохранения импульса:

$\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{посл}$

Следовательно, разность импульсов равна нулю: $ \vec{p}_{нач} - \vec{p}_{посл} = 0 $.

Тогда второе слагаемое в выражении для $\Delta E'_k$ обращается в ноль:

$(\vec{p}_{нач} - \vec{p}_{посл}) \cdot \vec{V} = 0 \cdot \vec{V} = 0$

В итоге мы приходим к равенству:

$\Delta E'_k = \Delta E_k$

Это доказывает, что изменение суммарной кинетической энергии системы двух тел при соударении является инвариантной величиной, то есть не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

Ответ:

Мы доказали, что $\Delta E'_k = \Delta E_k$. Это означает, что изменение суммарной кинетической энергии при соударении двух тел не зависит от того, в какой инерциальной системе отсчета рассматривается процесс. Величина изменения кинетической энергии инвариантна относительно преобразований Галилея.