Номер 4.46, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.46, страница 26.

Условие.

4.46*. Подъемный кран опускает контейнер массой $\text{m}$ на медленно проезжающую со скоростью $\text{v}$ железнодорожную платформу. Трос сразу отцепляется. Контейнер скользит по платформе и останавливается, оставив след длиной $\text{L}$. Определите коэффициент трения $\mu$ между контейнером и платформой, если трением качения можно пренебречь. Масса платформы $\text{M}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{m}$ - масса контейнера

$\text{M}$ - масса платформы

$\text{v}$ - начальная скорость платформы

$\text{L}$ - длина следа, оставленного контейнером на платформе

Найти:

$\mu$ - коэффициент трения

Решение:

Рассмотрим систему "контейнер + платформа". В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы (трением качения платформы пренебрегаем), поэтому для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

1. Закон сохранения импульса.

Начальный импульс системы равен импульсу платформы, так как контейнер опускается вертикально и его начальная горизонтальная скорость равна нулю:

$P_{нач} = Mv$

После того как контейнер прекращает скользить по платформе, они движутся вместе как единое целое с некоторой конечной скоростью $\text{u}$. Конечный импульс системы:

$P_{кон} = (m+M)u$

Приравнивая начальный и конечный импульсы, получаем:

$Mv = (m+M)u$

Отсюда можно выразить конечную скорость системы:

$u = \frac{Mv}{m+M}$

2. Закон изменения механической энергии.

В процессе скольжения контейнера по платформе действует сила трения, которая является неконсервативной силой. Работа этой силы приводит к уменьшению механической энергии системы. Это уменьшение энергии равно количеству теплоты $\text{Q}$, выделившейся за счет трения.

$Q = A_{тр} = F_{тр} \cdot L$

Сила трения скольжения, действующая на контейнер, равна $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ - сила нормальной реакции. Так как контейнер движется по горизонтальной платформе, $N = mg$. Следовательно:

$Q = \mu mgL$

Изменение кинетической энергии системы равно работе силы трения (в данном случае, убыли энергии, равной $\text{Q}$):

$E_{k, нач} - E_{k, кон} = Q$

Начальная кинетическая энергия системы:

$E_{k, нач} = \frac{Mv^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} = \frac{Mv^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы:

$E_{k, кон} = \frac{(m+M)u^2}{2}$

Подставим все выражения в уравнение для энергии:

$\frac{Mv^2}{2} - \frac{(m+M)u^2}{2} = \mu mgL$

3. Совместное решение уравнений.

Подставим выражение для конечной скорости $\text{u}$ из закона сохранения импульса в уравнение энергии:

$\frac{Mv^2}{2} - \frac{(m+M)}{2} \left( \frac{Mv}{m+M} \right)^2 = \mu mgL$

$\frac{Mv^2}{2} - \frac{(m+M)M^2v^2}{2(m+M)^2} = \mu mgL$

$\frac{Mv^2}{2} - \frac{M^2v^2}{2(m+M)} = \mu mgL$

Вынесем общий множитель $\frac{Mv^2}{2}$ за скобки в левой части:

$\frac{Mv^2}{2} \left( 1 - \frac{M}{m+M} \right) = \mu mgL$

Упростим выражение в скобках:

$1 - \frac{M}{m+M} = \frac{m+M-M}{m+M} = \frac{m}{m+M}$

Получаем:

$\frac{Mv^2}{2} \cdot \frac{m}{m+M} = \mu mgL$

$\frac{mMv^2}{2(m+M)} = \mu mgL$

Выразим искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{mMv^2}{2(m+M)mgL}$

Сокращая массу контейнера $\text{m}$, получаем окончательное выражение:

$\mu = \frac{Mv^2}{2gL(m+M)}$

Ответ: $\mu = \frac{Mv^2}{2gL(m+M)}$