Номер 5.1, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.1, страница 27.

Условие.

5.1. Фонарь массой $m = 10 \text{ кг}$ висит посередине улицы шириной $l = 10 \text{ м}$. Допустимая сила натяжения каната $T = 500 \text{ Н}$. На какой высоте $\text{H}$ надо закрепить концы каната, чтобы точка подвеса фонаря находилась на высоте $h = 5 \text{ м}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m = 10$ кг

$l = 10$ м

$T = 500$ Н (допустимая сила натяжения)

$h = 5$ м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{H}$ — ?

Решение:

Фонарь находится в состоянии равновесия. Это означает, что сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На фонарь действуют сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения каната $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль его левой и правой частей.

Условие равновесия в векторной форме:

$\vec{F_g} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = 0$

Так как фонарь висит посередине улицы, система симметрична. Силы натяжения в обеих частях каната равны по модулю ($|\vec{T_1}| = |\vec{T_2}| = T_{rope}$) и образуют одинаковый угол $\alpha$ с горизонталью. Чтобы канат не порвался, сила натяжения в нем не должна превышать допустимую, то есть $T_{rope} \le T$. Расчет проведем для предельного случая, когда $T_{rope} = T = 500$ Н.

Спроецируем силы на вертикальную ось OY, направленную вверх. Проекция силы тяжести $F_g = mg$ на ось OY равна $-mg$. Проекции сил натяжения равны $T \sin\alpha$. Уравнение равновесия в проекции на ось OY имеет вид:

$T \sin\alpha + T \sin\alpha - mg = 0$

$2T \sin\alpha = mg$

Выразим синус угла $\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{mg}{2T}$

Подставим известные значения:

$\sin\alpha = \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 500 \text{ Н}} = \frac{100 \text{ Н}}{1000 \text{ Н}} = 0.1$

Теперь рассмотрим геометрию подвеса. Пусть $\text{H}$ — высота, на которой закреплены концы каната, а $\text{h}$ — высота, на которой висит фонарь. Горизонтальное расстояние от точки подвеса до стены равно половине ширины улицы, то есть $l/2$. Вертикальный провис каната равен $H-h$. Эти величины образуют прямоугольный треугольник, в котором $\tan\alpha$ можно выразить как:

$\tan\alpha = \frac{H - h}{l/2}$

Отсюда найдем искомую высоту $\text{H}$:

$H = h + \frac{l}{2} \tan\alpha$

Для нахождения $\tan\alpha$, зная $\sin\alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0.1)^2} = \sqrt{1 - 0.01} = \sqrt{0.99}$

Теперь можем найти тангенс угла:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{0.1}{\sqrt{0.99}}$

Подставим все полученные и известные значения в формулу для $\text{H}$:

$H = 5 \text{ м} + \frac{10 \text{ м}}{2} \cdot \frac{0.1}{\sqrt{0.99}} = 5 + 5 \cdot \frac{0.1}{\sqrt{0.99}} = 5 + \frac{0.5}{\sqrt{0.99}}$

Вычислим числовое значение:

$H \approx 5 + \frac{0.5}{0.995} \approx 5 + 0.5025 \approx 5.50 \text{ м}$

Таким образом, концы каната нужно закрепить на высоте не менее 5.50 м, чтобы сила натяжения не превысила допустимого значения.

Ответ: $H \approx 5.50$ м.