Номер 5.6, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.6, страница 27.

Условие.

5.6. Каков коэффициент жесткости пружины, которая может заменить систему двух пружин с коэффициентами жесткости $k_1$ и $k_2$, соединенных:

а) параллельно;

б) последовательно?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Две пружины с коэффициентами жесткости $k_1$ и $k_2$.

Найти:

Эквивалентный коэффициент жесткости системы $k_{экв}$ при:

а) параллельном соединении;

б) последовательном соединении.

Решение:

а) параллельно;

При параллельном соединении пружины крепятся к общей точке или платформе, поэтому их удлинение под действием внешней силы $\text{F}$ одинаково и равно $\text{x}$.

$x_1 = x_2 = x$

Общая сила упругости $\text{F}$, возникающая в системе, равна сумме сил упругости, возникающих в каждой пружине. Согласно закону Гука:

$F = F_1 + F_2$

где $F_1 = k_1 x$ и $F_2 = k_2 x$.

Подставим выражения для $F_1$ и $F_2$ в формулу для общей силы:

$F = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2)x$

Для эквивалентной пружины, которая заменяет всю систему, закон Гука имеет вид:

$F = k_{экв} x$

Сравнивая два выражения для силы $\text{F}$, получаем:

$k_{экв} x = (k_1 + k_2)x$

Отсюда находим эквивалентный коэффициент жесткости:

$k_{экв} = k_1 + k_2$

Ответ: При параллельном соединении эквивалентный коэффициент жесткости равен сумме коэффициентов жесткости пружин: $k_{экв} = k_1 + k_2$.

б) последовательно;

При последовательном соединении пружин на каждую из них действует одна и та же растягивающая сила $\text{F}$.

$F_1 = F_2 = F$

Общее удлинение системы $\text{x}$ равно сумме удлинений каждой пружины:

$x = x_1 + x_2$

Согласно закону Гука, удлинения каждой пружины равны:

$x_1 = \frac{F}{k_1}$ и $x_2 = \frac{F}{k_2}$.

Тогда общее удлинение системы:

$x = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Для эквивалентной пружины закон Гука записывается как $F = k_{экв} x$, откуда общее удлинение можно выразить как $x = \frac{F}{k_{экв}}$.

Приравнивая выражения для общего удлинения $\text{x}$, получаем:

$\frac{F}{k_{экв}} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Сократив на $\text{F}$, получим выражение для величины, обратной эквивалентной жесткости:

$\frac{1}{k_{экв}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Приводя правую часть к общему знаменателю, имеем:

$\frac{1}{k_{экв}} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$

Отсюда эквивалентный коэффициент жесткости равен:

$k_{экв} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Ответ: При последовательном соединении эквивалентный коэффициент жесткости определяется формулой $k_{экв} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$, или, что то же самое, складываются величины, обратные жесткостям: $\frac{1}{k_{экв}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$.