Номер 5.13, страница 28 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.13, страница 28.

Условие.

5.13*. Цепочка массой $\text{m}$ подвешена к потолку (см. рисунок). При каком угле $\alpha$ сила натяжения цепочки в ее нижней точке равна весу цепочки? Чему будет равна при этом сила $\text{T}$ натяжения в точке подвеса?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса цепочки: $\text{m}$
Сила натяжения в нижней точке по условию: $T_0 = mg$

Найти:

Угол $\alpha$
Сила натяжения в точке подвеса $\text{T}$

Решение:

Цепочка находится в равновесии. Рассмотрим равновесие ее правой половины (от нижней точки до точки подвеса). На эту часть действуют три силы:

1. Сила тяжести половины цепочки, равная $\frac{m}{2}g$ и направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения $T_0$ в нижней точке, направленная горизонтально влево.

3. Сила натяжения $\text{T}$ в точке подвеса, направленная по касательной к цепочке под углом $\alpha$ к горизонтали.

Так как половина цепочки находится в состоянии покоя, сумма всех действующих на нее сил равна нулю. Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную ось X и вертикальную ось Y:

На ось X: $T \cos \alpha - T_0 = 0$

На ось Y: $T \sin \alpha - \frac{m}{2}g = 0$

Из этих уравнений следует:

$T \cos \alpha = T_0$

$T \sin \alpha = \frac{mg}{2}$

По условию задачи, сила натяжения в нижней точке $T_0$ равна весу всей цепочки, то есть $T_0 = mg$. Подставим это значение в первое уравнение:

$T \cos \alpha = mg$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} T \cos \alpha = mg \\ T \sin \alpha = \frac{mg}{2} \end{cases}$

При каком угле α сила натяжения цепочки в ее нижней точке равна весу цепочки?

Чтобы найти угол $\alpha$, разделим второе уравнение системы на первое:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{\frac{mg}{2}}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{1}{2}$

Следовательно, искомый угол равен:

$\alpha = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$

Ответ: $\alpha = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$.

Чему будет равна при этом сила T натяжения в точке подвеса?

Для нахождения силы натяжения $\text{T}$ возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим их:

$(T \cos \alpha)^2 + (T \sin \alpha)^2 = (mg)^2 + \left(\frac{mg}{2}\right)^2$

$T^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = m^2g^2 + \frac{m^2g^2}{4}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$T^2 = m^2g^2 \left(1 + \frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4}m^2g^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим величину силы натяжения $\text{T}$:

$T = \sqrt{\frac{5}{4}m^2g^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}mg$

Ответ: $T = \frac{\sqrt{5}}{2}mg$.