Номер 5.10, страница 28 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.10, страница 28.

Условие.

5.10. На концах нити, переброшенной через два неподвижных блока, висят два одинаковых груза (см. рисунок). К середине нити прикрепляют такой же третий груз. На какое расстояние $\text{h}$ опустится этот груз после установления равновесия? Расстояние между осями блоков равно $\text{2l}$. Трение в осях блоков считайте малым.

К задаче 5.10

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса каждого из трех грузов: $\text{m}$

Расстояние между осями блоков: $\text{2l}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Расстояние, на которое опустится средний груз: $\text{h}$

Решение:

После того, как система придет в равновесие, все три груза будут неподвижны. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз.

На два крайних груза действуют сила тяжести $\text{mg}$, направленная вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх. Так как эти грузы находятся в равновесии, силы, действующие на них, скомпенсированы. Отсюда следует, что сила натяжения нити по всей ее длине равна весу одного груза:

$T = mg$

Теперь рассмотрим средний груз, который опустился на расстояние $\text{h}$. На него действуют сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения нити $\text{T}$, направленные вверх под углом к вертикали. Пусть нить образует угол $\alpha$ с горизонталью. В состоянии равновесия векторная сумма всех сил, действующих на средний груз, равна нулю. Спроектируем силы на вертикальную ось:

$2 \cdot T \cdot \sin(\alpha) = mg$

Подставим в это уравнение ранее найденное значение силы натяжения нити $T = mg$:

$2 \cdot mg \cdot \sin(\alpha) = mg$

Сократив $\text{mg}$, получим:

$2 \sin(\alpha) = 1$

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим геометрию системы. Расстояние между блоками равно $\text{2l}$. Средний груз опустился на расстояние $\text{h}$ ровно посередине. Таким образом, образовались два одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами каждого треугольника являются расстояние $\text{h}$ (вертикальный катет) и половина расстояния между блоками $\text{l}$ (горизонтальный катет). Угол $\alpha$ — это угол между гипотенузой (нитью) и горизонтальным катетом.

Из геометрии этого треугольника следует, что:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{l}$

Нам известно значение $\sin(\alpha)$. Найдем $\tan(\alpha)$ через $\sin(\alpha)$, используя тригонометрические тождества:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\tan(\alpha)$:

$\frac{h}{l} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Отсюда выразим искомое расстояние $\text{h}$:

$h = \frac{l}{\sqrt{3}} = \frac{l\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $h = \frac{l}{\sqrt{3}}$