Номер 5.14, страница 28 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.14, страница 28.

Условие.

5.14.Если груз лежит на левой чашке неравноплечих весов, его уравновешивают гири массой $m_1 = 40$ г на правой чашке. Если же груз положить на правую чашку, его уравновесят гири массой $m_2 = 10$ г на левой чашке. Какова масса $\text{m}$ груза? Во сколько раз одно плечо весов длиннее другого? Массой самих весов можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 40 \text{ г} = 0.04 \text{ кг}$

$m_2 = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

$\text{m}$ - ?

$\frac{l_{большее}}{l_{меньшее}}$ - ?

Решение:

Пусть $l_1$ и $l_2$ — длины левого и правого плеч неравноплечих весов соответственно. Условие равновесия рычага (весов) — это равенство моментов сил, действующих на его плечи. Момент силы $\text{M}$ определяется как произведение силы $\text{F}$ на плечо $\text{l}$: $M = F \cdot l$. В данном случае сила — это вес тела $P=mg$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Рассмотрим первый случай: груз массой $\text{m}$ на левой чашке уравновешен гирями массой $m_1$ на правой. Моменты сил, действующих на плечи весов, равны:

$m \cdot g \cdot l_1 = m_1 \cdot g \cdot l_2$

Сокращая на $\text{g}$, получаем первое уравнение:

$m \cdot l_1 = m_1 \cdot l_2 \quad (1)$

Рассмотрим второй случай: груз массой $\text{m}$ на правой чашке уравновешен гирями массой $m_2$ на левой. Условие равновесия:

$m_2 \cdot g \cdot l_1 = m \cdot g \cdot l_2$

Сокращая на $\text{g}$, получаем второе уравнение:

$m_2 \cdot l_1 = m \cdot l_2 \quad (2)$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с неизвестными $\text{m}$ и отношением плеч $\frac{l_1}{l_2}$.

Какова масса m груза?

Выразим отношение плеч $\frac{l_1}{l_2}$ из каждого уравнения:

Из уравнения (1): $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m}$

Из уравнения (2): $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m}{m_2}$

Приравняв правые части этих выражений, получим:

$\frac{m_1}{m} = \frac{m}{m_2}$

Из этого соотношения выражаем $m^2$:

$m^2 = m_1 \cdot m_2$

Тогда искомая масса $\text{m}$ равна среднему геометрическому масс гирь:

$m = \sqrt{m_1 \cdot m_2}$

Подставим числовые значения. Расчет удобнее вести в граммах.

$m = \sqrt{40 \text{ г} \cdot 10 \text{ г}} = \sqrt{400 \text{ г}^2} = 20 \text{ г}$

Ответ: масса груза $m = 20$ г.

Во сколько раз одно плечо весов длиннее другого?

Для нахождения отношения длин плеч воспользуемся одним из полученных ранее выражений, например $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m}{m_2}$. Подставим известные значения масс $\text{m}$ и $m_2$:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{20 \text{ г}}{10 \text{ г}} = 2$

Это означает, что левое плечо ($l_1$) в 2 раза длиннее правого ($l_2$). Следовательно, одно плечо весов длиннее другого в 2 раза.

Ответ: одно плечо весов длиннее другого в 2 раза.