Номер 5.19, страница 29 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.19, страница 29.

Условие.

5.19. Чтобы измерить массу линейки, на один из ее концов положили груз массой 250 г и начали выдвигать этот конец за край стола. Линейка находилась в равновесии до тех пор, пока ее не выдвинули на четверть длины. Чему равна масса линейки? На сколько можно было бы выдвинуть линейку, если бы масса груза была 125 г?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого груза $m_{г1} = 250$ г
Выдвинутая длина в первом случае $l_1 = \frac{1}{4}L$, где $\text{L}$ - длина линейки
Масса второго груза $m_{г2} = 125$ г

$m_{г1} = 0.25$ кг
$m_{г2} = 0.125$ кг

Найти:

Массу линейки $m_л$ - ?
Выдвинутую длину во втором случае $l_2$ - ?

Решение:

Линейка находится в равновесии, когда моменты сил, вращающие ее по часовой стрелке (вниз со стола) и против часовой стрелки (удерживающие на столе), равны. Осью вращения является край стола. Будем считать линейку однородной, поэтому ее центр масс находится посередине (на расстоянии $L/2$ от края).

Чему равна масса линейки?

В первом случае линейка выдвинута на $l_1 = \frac{L}{4}$.
Момент силы, создаваемый грузом $m_{г1}$ (вращает по часовой стрелке):
$M_1 = F_{г1} \cdot l_1 = (m_{г1}g) \cdot \frac{L}{4}$
Момент силы, создаваемый силой тяжести самой линейки $m_л$ (вращает против часовой стрелки). Сила тяжести линейки приложена к ее центру масс. Плечо этой силы равно расстоянию от центра масс линейки до края стола:
$d_1 = \frac{L}{2} - l_1 = \frac{L}{2} - \frac{L}{4} = \frac{L}{4}$
Момент силы тяжести линейки:
$M_2 = F_{л} \cdot d_1 = (m_{л}g) \cdot \frac{L}{4}$
Из условия равновесия $M_1 = M_2$:
$m_{г1}g \frac{L}{4} = m_{л}g \frac{L}{4}$
Сокращая общие множители, получаем:
$m_{л} = m_{г1} = 250$ г.

Ответ: масса линейки равна 250 г.

На сколько можно было бы выдвинуть линейку, если бы масса груза была 125 г?

Во втором случае масса груза $m_{г2} = 125$ г, а масса линейки, как мы выяснили, $m_л = 250$ г. Обозначим искомую выдвинутую длину как $l_2$.
Момент силы от груза $m_{г2}$ (по часовой стрелке):
$M'_1 = (m_{г2}g) \cdot l_2$
Момент силы от линейки (против часовой стрелки). Плечо силы теперь равно $d_2 = \frac{L}{2} - l_2$.
$M'_2 = (m_{л}g) \cdot (\frac{L}{2} - l_2)$
Из условия равновесия $M'_1 = M'_2$:
$m_{г2}g \cdot l_2 = m_{л}g \cdot (\frac{L}{2} - l_2)$
$m_{г2} \cdot l_2 = m_{л} \cdot (\frac{L}{2} - l_2)$
$m_{г2} \cdot l_2 = \frac{m_{л}L}{2} - m_{л}l_2$
$l_2(m_{г2} + m_{л}) = \frac{m_{л}L}{2}$
$l_2 = \frac{m_{л}L}{2(m_{г2} + m_{л})}$
Подставим числовые значения масс:
$l_2 = \frac{250 \cdot L}{2(125 + 250)} = \frac{250L}{2 \cdot 375} = \frac{250L}{750} = \frac{1}{3}L$

Ответ: линейку можно было бы выдвинуть на треть ее длины.