Номер 5.18, страница 29 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.18, страница 29.

Условие.

5.18. К однородной балке массой $m_1 = 400 \text{ кг}$ и длиной $l = 7 \text{ м}$ подвешен груз массой $m_2 = 700 \text{ кг}$ на расстоянии $a = 2 \text{ м}$ от одного из концов. Балка концами лежит на опорах. Какова сила давления на каждую из опор?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 400$ кг
$l = 7$ м
$m_2 = 700$ кг
$a = 2$ м

Найти:

Силы давления на каждую из опор: $F_1$ - ?, $F_2$ - ?

Решение:

Балка находится в состоянии статического равновесия, следовательно, для нее выполняются два условия:

1. Сумма всех сил, действующих на балку, равна нулю (условие равновесия поступательного движения).

2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю (условие равновесия вращательного движения).

На балку действуют следующие силы: сила тяжести балки $P_1 = m_1 g$, приложенная в центре масс балки (посередине, так как балка однородная); сила тяжести груза $P_2 = m_2 g$; силы реакции опор $N_1$ и $N_2$. По третьему закону Ньютона силы давления на опоры $F_1$ и $F_2$ равны по модулю соответствующим силам реакции опор: $F_1 = N_1$ и $F_2 = N_2$.

Обозначим опору, от которой отсчитывается расстояние $\text{a}$, как опору 1, а другую опору — как опору 2.

Запишем первое условие равновесия в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_1 + N_2 - P_1 - P_2 = 0$

$N_1 + N_2 = (m_1 + m_2)g$

Запишем второе условие равновесия, выбрав в качестве оси вращения точку, где расположена опора 1. Момент силы $N_1$ относительно этой оси равен нулю. Моменты сил $P_1$ и $P_2$ вращают балку по часовой стрелке (примем это направление за отрицательное), а момент силы $N_2$ — против часовой стрелки (положительное направление).

$\sum M_1 = N_2 \cdot l - P_1 \cdot \frac{l}{2} - P_2 \cdot a = 0$

Из этого уравнения выразим силу реакции опоры $N_2$:

$N_2 \cdot l = P_1 \cdot \frac{l}{2} + P_2 \cdot a$

$N_2 = \frac{m_1 g \frac{l}{2} + m_2 g a}{l} = g \frac{m_1 l/2 + m_2 a}{l}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²:

$N_2 = 9.8 \frac{400 \cdot (7/2) + 700 \cdot 2}{7} = 9.8 \frac{400 \cdot 3.5 + 1400}{7} = 9.8 \frac{1400 + 1400}{7} = 9.8 \frac{2800}{7} = 9.8 \cdot 400 = 3920$ Н.

Теперь из первого условия равновесия найдем силу реакции опоры $N_1$:

$N_1 = (m_1 + m_2)g - N_2$

$N_1 = (400 + 700) \cdot 9.8 - 3920 = 1100 \cdot 9.8 - 3920 = 10780 - 3920 = 6860$ Н.

Таким образом, силы давления на опоры равны:

$F_1 = N_1 = 6860$ Н

$F_2 = N_2 = 3920$ Н

Ответ: сила давления на опору, к которой ближе подвешен груз, составляет 6860 Н (или 6.86 кН); сила давления на другую, дальнюю опору, составляет 3920 Н (или 3.92 кН).