Номер 5.25, страница 30 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.25, страница 30.

Условие.

5.25**. Тонкий однородный стержень укреплен на шарнире в точке $\text{A}$ и удерживается в равновесии горизонтальной нитью (см. рисунок). Масса стержня $m = 1 \text{ кг}$, угол его наклона к горизонту $\alpha = 45^\circ$. Найдите величину и направление силы $\text{N}$ реакции шарнира.

Решение.

Решение 2.

5.25** Дано:

Масса стержня $m = 1 \text{ кг}$
Угол наклона стержня к горизонту $\alpha = 45^\circ$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Величину (модуль) силы реакции шарнира $\text{N}$ и ее направление.

Решение:

На стержень, находящийся в равновесии, действуют три силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (его середине, так как стержень однородный) и направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, приложенная к верхнему концу стержня (точка B) и направленная горизонтально.

3. Сила реакции шарнира $\vec{N}$, приложенная в точке A. Разложим эту силу на две компоненты: горизонтальную $N_x$ и вертикальную $N_y$.

Поскольку стержень находится в равновесии, должны выполняться два условия равновесия для твёрдого тела:

1) Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: $\sum \vec{F} = 0$.

2) Сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения равна нулю: $\sum \vec{\tau} = 0$.

Запишем первое условие равновесия в проекциях на оси координат (ось OX направим горизонтально вправо, ось OY — вертикально вверх):

Проекция на ось OX: $N_x - T = 0 \implies N_x = T$

Проекция на ось OY: $N_y - mg = 0 \implies N_y = mg$

Для применения второго условия равновесия выберем в качестве оси вращения точку А. В этом случае момент силы реакции шарнира $\vec{N}$ будет равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю, и уравнение моментов упростится.

Пусть длина стержня равна $\text{L}$.

Момент силы тяжести $m\vec{g}$ вращает стержень по часовой стрелке (примем это направление за отрицательное). Плечо силы тяжести равно $d_g = \frac{L}{2} \cos\alpha$. Тогда момент силы тяжести: $\tau_g = -mg \cdot d_g = -mg \frac{L}{2} \cos\alpha$.

Момент силы натяжения нити $\vec{T}$ вращает стержень против часовой стрелки (положительное направление). Плечо силы натяжения равно $d_T = L \sin\alpha$. Тогда момент силы натяжения: $\tau_T = T \cdot d_T = T L \sin\alpha$.

Уравнение моментов: $\sum \tau_A = \tau_T + \tau_g = 0$.

$T L \sin\alpha - mg \frac{L}{2} \cos\alpha = 0$

Из этого уравнения выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T L \sin\alpha = mg \frac{L}{2} \cos\alpha$

$T = \frac{mg}{2} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{mg}{2} \cot\alpha$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2} \cdot \cot(45^\circ) = 5 \text{ Н} \cdot 1 = 5 \text{ Н}$

Теперь можем найти компоненты силы реакции шарнира:

$N_x = T = 5 \text{ Н}$

$N_y = mg = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 10 \text{ Н}$

Величина (модуль) силы реакции шарнира $\text{N}$ находится по теореме Пифагора:

$N = \sqrt{N_x^2 + N_y^2} = \sqrt{(5 \text{ Н})^2 + (10 \text{ Н})^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \text{ Н}$.

Вычислим приближенное значение: $N \approx 5 \cdot 2.236 \approx 11.18 \text{ Н}$.

Направление силы реакции найдем через угол $\beta$, который вектор $\vec{N}$ образует с положительным направлением оси OX (горизонталью).

$\tan\beta = \frac{N_y}{N_x} = \frac{10 \text{ Н}}{5 \text{ Н}} = 2$

$\beta = \arctan(2) \approx 63.4^\circ$

Ответ: величина силы реакции шарнира $N = 5\sqrt{5} \text{ Н} \approx 11.2 \text{ Н}$, сила направлена под углом $\beta = \arctan(2) \approx 63.4^\circ$ к горизонту.