Номер 5.31, страница 31 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.31, страница 31.

Условие.

5.31. Однородный шар массой $\text{m}$ и радиусом $\text{R}$ подвешен на нити, конец которой закреплен на гладкой вертикальной стене. Найдите силу $\text{T}$ натяжения нити и силу $\text{F}$ давления шара на стену, если длина нити $\text{l}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса шара: $\text{m}$
Радиус шара: $\text{R}$
Длина нити: $\text{l}$

Найти:

Силу натяжения нити: $\text{T}$
Силу давления шара на стену: $\text{F}$

Решение:

На шар, находящийся в равновесии, действуют три силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс шара.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.

3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ со стороны гладкой стены, направленная перпендикулярно стене (горизонтально) и проходящая через центр шара.

Поскольку шар находится в равновесии, то векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{T} + m\vec{g} + \vec{N} = 0$

Для того чтобы шар находился и во вращательном равновесии, сумма моментов сил относительно центра шара должна быть равна нулю. Моменты сил $m\vec{g}$ и $\vec{N}$ равны нулю, так как их линии действия проходят через центр. Следовательно, линия действия силы натяжения $\vec{T}$ также должна проходить через центр шара.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой крепления нити к стене, центром шара и проекцией центра шара на стену. Гипотенуза этого треугольника равна сумме длины нити и радиуса шара, т.е. $l+R$. Один из катетов равен радиусу шара $\text{R}$ (расстояние от центра шара до стены). Пусть $\alpha$ — угол между нитью и вертикалью. Из геометрии этого треугольника находим синус и косинус угла $\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{R}{l+R}$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{(l+R)^2 - R^2}}{l+R} = \frac{\sqrt{l^2 + 2lR + R^2 - R^2}}{l+R} = \frac{\sqrt{l(l+2R)}}{l+R}$

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX — горизонтально от стены.

Проекция на ось OX: $N - T\sin\alpha = 0 \implies N = T\sin\alpha$

Проекция на ось OY: $T\cos\alpha - mg = 0 \implies T\cos\alpha = mg$

Из этих двух уравнений найдем искомые силы $\text{T}$ и $\text{F}$.

Сила натяжения нити T

Из уравнения для проекций на ось OY выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Подставим ранее найденное выражение для $\cos\alpha$:

$T = mg \frac{l+R}{\sqrt{l(l+2R)}}$

Ответ: $T = mg \frac{l+R}{\sqrt{l(l+2R)}}$

Сила давления шара на стену F

По третьему закону Ньютона, сила давления шара на стену $\text{F}$ равна по модулю силе нормальной реакции опоры $\text{N}$, действующей на шар со стороны стены ($F = N$). Из уравнения для проекций на ось OX имеем:

$F = N = T\sin\alpha$

Подставим в это уравнение найденные выражения для $\text{T}$ и $\sin\alpha$:

$F = \left( mg \frac{l+R}{\sqrt{l(l+2R)}} \right) \cdot \left( \frac{R}{l+R} \right)$

Сократив $(l+R)$, получаем:

$F = mg \frac{R}{\sqrt{l(l+2R)}}$

Ответ: $F = mg \frac{R}{\sqrt{l(l+2R)}}$