Номер 5.36, страница 32 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.36, страница 32.

Условие.

5.36*. Лестница опирается на гладкую вертикальную стену. Коэффициент трения между ножками лестницы и полом равен $\mu$. Какой наибольший угол $\alpha_{\text{max}}$ может образовывать лестница со стеной? Центр тяжести лестницы совпадает с ее серединой.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Коэффициент трения между лестницей и полом: $\mu$

Стена: гладкая (коэффициент трения равен 0)

Центр тяжести лестницы: совпадает с ее серединой

Найти:

$\alpha_{max}$ — наибольший угол, который может образовывать лестница со стеной.

Решение:

Рассмотрим условие равновесия лестницы. На лестницу действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс (середине лестницы) и направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции стены $\vec{N_1}$, направленная горизонтально от стены.

3. Сила нормальной реакции пола $\vec{N_2}$, направленная вертикально вверх.

4. Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$ со стороны пола, направленная горизонтально к стене и препятствующая соскальзыванию.

Так как стена гладкая, сила трения со стороны стены отсутствует.

Для равновесия необходимо, чтобы сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки были равны нулю.

Запишем первое условие равновесия (равенство нулю суммы сил) в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX горизонтально к стене.

Проекция на ось OX:

$F_{тр} - N_1 = 0 \implies N_1 = F_{тр}$

Проекция на ось OY:

$N_2 - mg = 0 \implies N_2 = mg$

Наибольший угол $\alpha_{max}$ соответствует предельному случаю, когда лестница вот-вот начнет скользить. В этом случае сила трения покоя достигает своего максимального значения:

$F_{тр} = F_{тр.max} = \mu N_2$

Подставив $N_2 = mg$, получим:

$F_{тр} = \mu mg$

Тогда из уравнения для оси OX находим силу реакции стены:

$N_1 = \mu mg$

Теперь запишем второе условие равновесия — равенство нулю суммы моментов сил. Удобнее всего выбрать точку, относительно которой будем считать моменты, в месте опоры лестницы о пол (точка A). В этом случае моменты сил $\vec{N_2}$ и $\vec{F}_{тр}$ равны нулю, так как их плечи равны нулю.

Пусть L — длина лестницы. Момент силы тяжести $m\vec{g}$ вращает лестницу по часовой стрелке. Плечо этой силы равно $d_1 = \frac{L}{2}\sin\alpha$. Момент $M_1 = mg \cdot \frac{L}{2}\sin\alpha$.

Момент силы реакции стены $\vec{N_1}$ вращает лестницу против часовой стрелки. Плечо этой силы равно $d_2 = L\cos\alpha$. Момент $M_2 = N_1 \cdot L\cos\alpha$.

Условие равновесия моментов (с учетом знаков):

$M_2 - M_1 = 0$

$N_1 L\cos\alpha_{max} - mg \frac{L}{2}\sin\alpha_{max} = 0$

Подставим в это уравнение выражение для $N_1 = \mu mg$:

$(\mu mg) L\cos\alpha_{max} - mg \frac{L}{2}\sin\alpha_{max} = 0$

Сократим обе части уравнения на $mgL$ (так как $m, g, L \neq 0$):

$\mu \cos\alpha_{max} - \frac{1}{2}\sin\alpha_{max} = 0$

$\mu \cos\alpha_{max} = \frac{1}{2}\sin\alpha_{max}$

Разделим обе части на $\cos\alpha_{max}$:

$\frac{\sin\alpha_{max}}{\cos\alpha_{max}} = 2\mu$

$\tan\alpha_{max} = 2\mu$

Отсюда находим искомый угол:

$\alpha_{max} = \arctan(2\mu)$

Ответ: $\alpha_{max} = \arctan(2\mu)$.