Номер 5.42, страница 32 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.42, страница 32.

Условие.

5.42**. Решая предыдущую задачу, я очень удивился ответу и задумался: смогу ли я, имея достаточный запас кирпичей, уложить их друг на друга без раствора так, чтобы край самого верхнего кирпича выступал над краем самого нижнего кирпича на целую милю? Как вы думаете, удастся ли мне это?

Решение.

Решение 2.

Да, это возможно теоретически, но абсолютно невозможно на практике. Ответ на этот вопрос — один из классических парадоксов в статике, и он действительно удивляет.

Чтобы стопка кирпичей была устойчивой, необходимо, чтобы центр масс любой группы верхних кирпичей находился над нижележащим кирпичом. Для достижения максимального выступа (выноса) мы будем располагать кирпичи так, чтобы центр масс каждой группы верхних кирпичей находился точно на краю кирпича, расположенного под ними. Будем считать, что все кирпичи одинаковые и имеют длину $\text{L}$.

Рассмотрим стопку сверху вниз:

1. Самый верхний кирпич (№1) может выступать за край второго под ним кирпича (№2) максимум на половину своей длины, $L/2$. В этом предельном случае центр масс первого кирпича находится точно над краем второго.

2. Теперь рассмотрим систему из двух верхних кирпичей (№1 и №2), стоящую на третьем кирпиче (№3). Чтобы выступ был максимальным, общий центр масс первых двух кирпичей должен находиться на краю третьего. Расчет показывает, что для этого второй кирпич должен выступать за край третьего на расстояние $L/4$.

3. Продолжая эту логику, можно показать, что $\text{k}$-й кирпич сверху может выступать за край $(k+1)$-го кирпича на расстояние $\frac{L}{2k}$.

Таким образом, общий горизонтальный выступ $\text{D}$ края самого верхнего кирпича относительно края самого нижнего кирпича в стопке из $\text{N}$ кирпичей равен сумме выступов каждого кирпича относительно нижележащего:

$D_N = \frac{L}{2} + \frac{L}{4} + \frac{L}{6} + \dots + \frac{L}{2(N-1)} = \frac{L}{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{N-1}\right)$

В скобках находится сумма, которая является частью гармонического ряда. Важнейшее свойство этого ряда заключается в том, что он расходится, то есть его сумма стремится к бесконечности при увеличении числа слагаемых ($N \to \infty$). Это означает, что, имея достаточное количество кирпичей, можно получить сколь угодно большой выступ. Теоретически — даже в милю.

А теперь давайте посчитаем, сколько кирпичей для этого понадобится на практике.

Дано:

Требуемый выступ, $D = 1 \text{ миля}$

Длина стандартного кирпича, $L = 250 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:

$D = 1609.34 \text{ м}$

$L = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Количество кирпичей $\text{N}$.

Решение:

Воспользуемся выведенной формулой для общего выступа:

$D_N = \frac{L}{2} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k}$

Подставим наши значения:

$1609.34 = \frac{0.25}{2} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k}$

Отсюда найдем требуемое значение частичной суммы гармонического ряда $H_{N-1} = \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k}$:

$H_{N-1} = \frac{1609.34 \times 2}{0.25} = 12874.72$

Для больших $\text{n}$ значение $H_n$ можно аппроксимировать как $H_n \approx \ln(n) + \gamma$, где $\gamma \approx 0.577$ — постоянная Эйлера-Маскерони. Тогда:

$\ln(N-1) + 0.577 \approx 12874.72$

$\ln(N-1) \approx 12874.143$

$N-1 \approx e^{12874.143}$

Чтобы представить масштаб этого числа, выразим его как степень 10:

$N-1 \approx 10^{\frac{12874.143}{\ln(10)}} \approx 10^{5591.2}$

Это число настолько велико, что его невозможно вообразить. Оно содержит более 5590 нулей. Для сравнения, число атомов в наблюдаемой Вселенной оценивается "всего лишь" в $10^{80}$.

Ответ:

Теоретически, имея неограниченный запас кирпичей, можно построить башню с выступом верхнего кирпича над нижним на целую милю. Однако на практике для этого потребуется количество кирпичей, превышающее число атомов во Вселенной, поэтому осуществить такой проект не удастся.