Номер 5.35, страница 31 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.35, страница 31.

Условие.

5.35*. Какой минимальной силой $F_{\text{min}}$ можно опрокинуть через неподвижное ребро однородный куб, находящийся на горизонтальной плоскости? Каков должен быть при этом минимальный коэффициент трения $\mu_{\text{min}}$ между кубом и плоскостью? Масса куба $\text{m}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса куба: $\text{m}$

Найти:

$F_{min}$ - минимальная сила для опрокидывания.

$\mu_{min}$ - минимальный коэффициент трения.

Решение:

Минимальная сила $F_{min}$

Чтобы опрокинуть куб, необходимо приложить силу так, чтобы момент этой силы относительно ребра опрокидывания был больше или равен моменту силы тяжести. Обозначим ребро куба, служащее осью вращения, точкой O (на виде сбоку). Сила тяжести $\text{mg}$ приложена к центру масс куба.

Для того чтобы приложенная сила $\text{F}$ была минимальной, ее плечо должно быть максимальным. Максимальное плечо достигается, когда сила приложена к самой удаленной от оси вращения O точке (противоположному верхнему ребру) и направлена перпендикулярно линии, соединяющей точку приложения силы и ось вращения.

Пусть сторона куба равна $\text{a}$. Центр масс находится на расстоянии $a/2$ по горизонтали от ребра O. Удерживающий момент, создаваемый силой тяжести, равен:

$M_g = mg \cdot \frac{a}{2}$

Максимальное расстояние от оси O до точки приложения силы — это диагональ грани куба, равная $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Если сила $F_{min}$ перпендикулярна этой диагонали, то ее плечо равно $\text{d}$. Опрокидывающий момент силы $F_{min}$ равен:

$M_F = F_{min} \cdot d = F_{min} \cdot a\sqrt{2}$

В предельном случае, в момент начала опрокидывания, моменты уравновешены: $M_F = M_g$.

$F_{min} \cdot a\sqrt{2} = mg \cdot \frac{a}{2}$

Выразим $F_{min}$:

$F_{min} = \frac{mg \cdot a/2}{a\sqrt{2}} = \frac{mg}{2\sqrt{2}} = \frac{mg\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $F_{min} = \frac{mg\sqrt{2}}{4}$

Минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$

Опрокидывание возможно только в том случае, если куб не начнет скользить. Условие отсутствия скольжения: горизонтальная составляющая приложенной силы должна быть меньше или равна максимальной силе трения покоя $F_{тр.max} = \mu N$.

Найдем силу трения $F_{тр}$ и силу нормальной реакции опоры $\text{N}$ в момент начала опрокидывания. Сила $F_{min}$ приложена перпендикулярно диагонали грани, то есть под углом $45^\circ$ к горизонтали (так как диагональ образует угол $45^\circ$ с гранью).

Запишем уравнения равновесия сил в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Горизонтальная ось (X): $F_{min} \cos(45^\circ) - F_{тр} = 0$

$F_{тр} = F_{min} \cos(45^\circ) = \frac{mg\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2mg}{8} = \frac{mg}{4}$

Вертикальная ось (Y): $N + F_{min} \sin(45^\circ) - mg = 0$

$N = mg - F_{min} \sin(45^\circ) = mg - \frac{mg\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = mg - \frac{2mg}{8} = mg - \frac{mg}{4} = \frac{3mg}{4}$

Чтобы опрокидывание произошло раньше, чем скольжение, необходимо, чтобы требуемая для равновесия сила трения была не больше максимальной силы трения покоя:

$F_{тр} \le \mu_{min} N$

Отсюда находим минимальный коэффициент трения:

$\mu_{min} = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{mg/4}{3mg/4} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\mu_{min} = \frac{1}{3}$