Номер 5.40, страница 32 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.40, страница 32.

Условие.

5.40*. Шкаф с низкими ножками соскальзывает с наклонной плоскости (см. рисунок). Найдите силы давления на наклонную плоскость правых и левых ножек шкафа. Масса шкафа $\text{m}$, центр тяжести находится в точке C. Высота шкафа $\text{h}$, длина основания $\text{l}$, угол наклона плоскости $\alpha$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса шкафа: $\text{m}$
Длина шкафа (расстояние между ножками): $\text{l}$
Высота шкафа: $\text{h}$
Угол наклона плоскости: $\alpha$
Центр тяжести находится в геометрическом центре шкафа.

Найти:

Силы давления на наклонную плоскость правых ($P_П$) и левых ($P_Л$) ножек шкафа.

Решение:

Сила давления, с которой ножки шкафа действуют на наклонную плоскость, по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры, действующей на ножки. Таким образом, $P_П = N_П$ и $P_Л = N_Л$, где $N_П$ и $N_Л$ – силы нормальной реакции опоры, действующие на правые (нижние) и левые (верхние) ножки соответственно.

Рассмотрим силы, действующие на шкаф. Введем систему координат, в которой ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy – перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

На шкаф действуют следующие силы:
1. Сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции левых ножек $N_Л$, направленная перпендикулярно опоре вверх.
3. Сила нормальной реакции правых ножек $N_П$, направленная перпендикулярно опоре вверх.
4. Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх (против движения).

Запишем первое условие равновесия (или уравнение движения) в проекции на ось Oy. Поскольку шкаф не движется перпендикулярно наклонной плоскости, сумма проекций сил на эту ось равна нулю:

$\sum F_y = N_Л + N_П - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда получаем первое уравнение:

$N_Л + N_П = mg \cos(\alpha)$ (1)

Для нахождения каждой силы в отдельности воспользуемся вторым условием равновесия – равенством нулю суммы моментов сил относительно любой точки. Выберем в качестве точки, относительно которой будем считать моменты, центр тяжести шкафа C.

Центр тяжести C находится на расстоянии $l/2$ от каждой пары ножек вдоль основания и на высоте $h/2$ от основания.

Моменты сил относительно точки C:
- Сила тяжести $\text{mg}$ приложена к центру тяжести, ее момент равен нулю.
- Сила $N_Л$ создает момент, вращающий шкаф против часовой стрелки (положительный момент): $M_Л = N_Л \cdot \frac{l}{2}$.
- Сила $N_П$ создает момент, вращающий шкаф по часовой стрелке (отрицательный момент): $M_П = -N_П \cdot \frac{l}{2}$.
- Суммарная сила трения $F_{тр}$ приложена к основанию шкафа (на высоте $h/2$ ниже центра масс) и создает момент, вращающий шкаф против часовой стрелки: $M_{тр} = F_{тр} \cdot \frac{h}{2}$.

Так как шкаф соскальзывает, не вращаясь, сумма моментов сил равна нулю:

$\sum M_C = N_Л \frac{l}{2} - N_П \frac{l}{2} + F_{тр} \frac{h}{2} = 0$

$(N_П - N_Л)\frac{l}{2} = F_{тр}\frac{h}{2}$

$N_П - N_Л = F_{тр} \frac{h}{l}$

Сила трения скольжения связана с силой, вызывающей движение. Из уравнения движения вдоль оси Ox: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma$. Если предположить, что шкаф соскальзывает равномерно ($a=0$), то $F_{тр} = mg \sin(\alpha)$. В задаче не указан характер движения, но для нахождения сил реакции опоры обычно рассматривают либо состояние покоя, либо равномерное движение. Примем, что движение равномерное.

Тогда получаем второе уравнение:

$N_П - N_Л = mg \sin(\alpha) \frac{h}{l}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $N_Л$ и $N_П$:
1) $N_Л + N_П = mg \cos(\alpha)$
2) $N_П - N_Л = \frac{mgh}{l} \sin(\alpha)$

Сложим уравнения (1) и (2):

$2N_П = mg \cos(\alpha) + \frac{mgh}{l} \sin(\alpha)$

$N_П = \frac{mg}{2} \left( \cos(\alpha) + \frac{h}{l} \sin(\alpha) \right)$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$2N_Л = mg \cos(\alpha) - \frac{mgh}{l} \sin(\alpha)$

$N_Л = \frac{mg}{2} \left( \cos(\alpha) - \frac{h}{l} \sin(\alpha) \right)$

Силы давления $P_Л$ и $P_П$ равны по модулю найденным силам нормальной реакции $N_Л$ и $N_П$.

Ответ: Сила давления левых (верхних) ножек: $P_Л = \frac{mg}{2} \left( \cos(\alpha) - \frac{h}{l} \sin(\alpha) \right)$.
Сила давления правых (нижних) ножек: $P_П = \frac{mg}{2} \left( \cos(\alpha) + \frac{h}{l} \sin(\alpha) \right)$.