Номер 5.39, страница 32 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.39, страница 32.

Условие.

5.39*. Шкаф с низкими ножками стоит на наклонной плоскости (см. рисунок). Масса шкафа $\text{m}$, центр тяжести находится в точке $\text{C}$. Найдите силы нормального давления правых и левых ножек шкафа на наклонную плоскость.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса шкафа: $\text{m}$
Расстояние между ножками (вдоль наклонной плоскости): $\text{l}$
Высота центра тяжести C над линией, соединяющей ножки: $\text{h}$
Угол наклона плоскости: $\alpha$

Найти:

Силы нормального давления левых ($N_Л$) и правых ($N_П$) ножек.

Решение:

Шкаф находится в равновесии, следовательно, сумма всех действующих на него сил и сумма моментов всех сил равны нулю.

На шкаф действуют:

1. Сила тяжести $\text{mg}$, приложенная к центру тяжести С и направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции левых (верхних) ножек $N_Л$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
3. Сила нормальной реакции правых (нижних) ножек $N_П$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
4. Сила трения $F_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх.

Введем систему координат, в которой ось $\text{Ox}$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно ей вверх.

Запишем первое условие равновесия — равенство нулю суммы проекций всех сил на ось $\text{Oy}$. Составляющая силы тяжести, перпендикулярная наклонной плоскости, равна $mg \cos \alpha$.

$\sum F_y = N_Л + N_П - mg \cos \alpha = 0$

Из этого уравнения получаем:

$N_Л + N_П = mg \cos \alpha$ (1)

Для нахождения каждой силы в отдельности воспользуемся вторым условием равновесия — равенством нулю суммы моментов сил относительно некоторой оси. В качестве оси вращения выберем точку опоры правых ножек (нижних). Момент силы будем считать положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Разложим силу тяжести $\text{mg}$ на две составляющие: $mg \sin \alpha$, параллельную наклонной плоскости, и $mg \cos \alpha$, перпендикулярную ей. Обе составляющие приложены к центру тяжести C.

Согласно рисунку, центр тяжести C находится на расстоянии $l/2$ от правых ножек (вдоль плоскости) и на высоте $\text{h}$ над линией, соединяющей ножки.

Запишем уравнение моментов сил относительно точки опоры правых ножек:

1. Момент силы $N_Л$: $M_Л = N_Л \cdot l$. Плечо силы равно $\text{l}$. Момент положительный (вращение против часовой стрелки).

2. Момент составляющей силы тяжести $mg \cos \alpha$: $M_{g, \perp} = -(mg \cos \alpha) \cdot \frac{l}{2}$. Плечо силы равно $l/2$. Момент отрицательный (вращение по часовой стрелке).

3. Момент составляющей силы тяжести $mg \sin \alpha$: $M_{g, \parallel} = -(mg \sin \alpha) \cdot h$. Плечо силы равно $\text{h}$. Момент отрицательный (вращение по часовой стрелке).

4. Моменты сил $N_П$ и силы трения, действующей на правые ножки, равны нулю, так как их линии действия проходят через выбранную ось вращения.

Сумма моментов равна нулю:

$\sum M = N_Л \cdot l - mg \cos \alpha \cdot \frac{l}{2} - mg \sin \alpha \cdot h = 0$

Выразим из этого уравнения силу $N_Л$:

$N_Л \cdot l = mg \left( \frac{l}{2} \cos \alpha + h \sin \alpha \right)$

$N_Л = mg \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{h}{l} \sin \alpha \right)$

Теперь, используя уравнение (1), найдем силу $N_П$:

$N_П = mg \cos \alpha - N_Л = mg \cos \alpha - mg \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{h}{l} \sin \alpha \right)$

$N_П = mg \cos \alpha - \frac{1}{2} mg \cos \alpha - mg \frac{h}{l} \sin \alpha$

$N_П = mg \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{h}{l} \sin \alpha \right)$

Ответ:

Сила нормального давления левых (верхних) ножек: $N_Л = mg \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{h}{l} \sin \alpha \right)$.
Сила нормального давления правых (нижних) ножек: $N_П = mg \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{h}{l} \sin \alpha \right)$.