Номер 5.41, страница 32 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.41, страница 32.

Условие.

5.41*. Пять кирпичей одинаковой длины $\text{l}$ кладут без раствора один на другой так, что очередной кирпич выступает над нижележащим (см. рисунок). На какое наибольшее расстояние может выступать правый край самого верхнего кирпича над правым краем самого нижнего кирпича?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество кирпичей: $n = 5$.

Длина каждого кирпича: $\text{l}$.

Все кирпичи одинаковые и однородные.

Найти:

$X_{max}$ — наибольшее расстояние, на которое может выступать правый край самого верхнего кирпича над правым краем самого нижнего кирпича.

Решение:

Для того чтобы стопка кирпичей находилась в состоянии устойчивого равновесия, необходимо, чтобы вертикаль, проходящая через центр масс любой группы верхних кирпичей, не выходила за пределы площади опоры, то есть за край нижележащего кирпича. Чтобы добиться максимального суммарного выступа, нужно каждый раз располагать кирпичи так, чтобы центр масс стопки, находящейся выше, располагался точно на краю нижележащего кирпича.

Пронумеруем кирпичи сверху вниз от 1 до 5. Общий искомый выступ $X_{max}$ будет равен сумме выступов $d_k$ каждого $\text{k}$-го кирпича относительно $(k+1)$-го.

Рассмотрим систему из $\text{k}$ верхних кирпичей, лежащую на $(k+1)$-ом кирпиче. Для максимального выступа $d_k$ их общий центр масс должен находиться на краю $(k+1)$-го кирпича. Положение общего центра масс системы из $\text{k}$ кирпичей можно найти рекуррентно. В системе отсчета, связанной с правым краем $\text{k}$-го кирпича, центр масс стопки из $(k-1)$ верхних кирпичей находится в точке с координатой $\text{0}$, а центр масс самого $\text{k}$-го кирпича — в точке с координатой $-l/2$. Тогда общий центр масс $\text{k}$ кирпичей находится в точке с координатой $x_{цм} = \frac{(k-1)m \cdot 0 + m \cdot (-l/2)}{km} = -\frac{l}{2k}$.

Величина этого смещения и есть максимальный выступ $\text{k}$-го кирпича над $(k+1)$-ым: $d_k = \frac{l}{2k}$.

Применим эту формулу для нашей стопки из 5 кирпичей, чтобы найти 4 выступа:

Выступ кирпича №1 над №2 ($k=1$): $d_1 = \frac{l}{2 \cdot 1} = \frac{l}{2}$.

Выступ кирпича №2 над №3 ($k=2$): $d_2 = \frac{l}{2 \cdot 2} = \frac{l}{4}$.

Выступ кирпича №3 над №4 ($k=3$): $d_3 = \frac{l}{2 \cdot 3} = \frac{l}{6}$.

Выступ кирпича №4 над №5 ($k=4$): $d_4 = \frac{l}{2 \cdot 4} = \frac{l}{8}$.

Общее расстояние, на которое правый край самого верхнего кирпича выступает над правым краем самого нижнего, равно сумме всех этих выступов:

$X_{max} = d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = \frac{l}{2} + \frac{l}{4} + \frac{l}{6} + \frac{l}{8}$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, равному 24:

$X_{max} = l \cdot (\frac{12}{24} + \frac{6}{24} + \frac{4}{24} + \frac{3}{24}) = l \cdot \frac{12+6+4+3}{24} = l \cdot \frac{25}{24}$.

Ответ:

Наибольшее расстояние, на которое может выступать правый край самого верхнего кирпича над правым краем самого нижнего кирпича, равно $\frac{25}{24}l$.