Номер 5.44, страница 33 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.44, страница 33.

Условие.

5.44.В двух вершинах треугольника помещены шарики массой $\text{m}$ каждый. В третьей вершине помещен шарик массой $\text{4m}$. Найдите положение центра масс системы.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого шарика: $m_1 = m$
Масса второго шарика: $m_2 = m$
Масса третьего шарика: $m_3 = 4m$
Шарики расположены в вершинах треугольника. Обозначим вершины как A, B, C. Пусть в вершинах A и B находятся шарики массой $\text{m}$, а в вершине C - шарик массой $\text{4m}$.

Найти:

Положение центра масс системы.

Решение:

Для нахождения центра масс системы из трех тел воспользуемся методом группировки. Сначала найдем центр масс подсистемы, состоящей из двух шариков одинаковой массы $\text{m}$, расположенных в вершинах A и B. Поскольку массы шариков равны, их центр масс (точка D) будет находиться точно посередине отрезка AB. В этой точке D можно мысленно сосредоточить суммарную массу этих двух шариков:

$M_{AB} = m_A + m_B = m + m = 2m$

Теперь задача сводится к нахождению центра масс системы из двух тел: тела массой $M_{AB} = 2m$ в точке D (середине стороны AB) и тела массой $m_C = 4m$ в вершине C. Центр масс этой двухтельной системы будет лежать на отрезке, соединяющем точки D и C. Отрезок CD является медианой исходного треугольника, проведенной из вершины C.

Положение центра масс (ЦМ) на отрезке CD определяется соотношением, известным как правило рычага: расстояния от центра масс до тел обратно пропорциональны их массам. Пусть $l_{CD}$ - длина медианы. Расстояние от ЦМ до вершины C обозначим как $|C - ЦМ|$, а до точки D - как $|D - ЦМ|$.

$m_C \cdot |C - ЦМ| = M_{AB} \cdot |D - ЦМ|$

Подставив значения масс, получаем:

$4m \cdot |C - ЦМ| = 2m \cdot |D - ЦМ|$

$2 \cdot |C - ЦМ| = |D - ЦМ|$

Это означает, что расстояние от центра масс до середины стороны D вдвое больше, чем расстояние от центра масс до вершины C. Так как точка ЦМ лежит на отрезке CD, сумма этих расстояний равна длине медианы:

$|C - ЦМ| + |D - ЦМ| = l_{CD}$

Заменим $|D - ЦМ|$ на $2 \cdot |C - ЦМ|$:

$|C - ЦМ| + 2 \cdot |C - ЦМ| = l_{CD}$

$3 \cdot |C - ЦМ| = l_{CD}$

$|C - ЦМ| = \frac{1}{3} l_{CD}$

Следовательно, центр масс всей системы находится на медиане, проведенной из вершины с шариком массой $\text{4m}$, на расстоянии в $1/3$ ее длины от этой вершины.

Ответ: Центр масс системы находится на медиане треугольника, проведенной из вершины, где расположен шарик массой $\text{4m}$, на расстоянии одной трети длины этой медианы от указанной вершины.