Номер 5.50, страница 33 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.50, страница 33.

Условие.

5.50**. Где находится центр тяжести тонкой однородной проволоки, согнутой в виде полуокружности радиусом $\text{r}$?

Решение.

Решение 2.

Дано

Тонкая однородная проволока, согнутая в виде полуокружности.

Радиус полуокружности: $\text{r}$.

Найти:

Координаты центра тяжести ($x_c, y_c$).

Решение

Для нахождения центра тяжести (центра масс) воспользуемся системой координат. Расположим полуокружность так, чтобы ее диаметр лежал на оси $\text{Ox}$, а центр окружности совпадал с началом координат $(0, 0)$. Таким образом, полуокружность будет располагаться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Проволока является однородной, что означает, что ее линейная плотность массы $\lambda$ (масса на единицу длины) постоянна.

Из соображений симметрии очевидно, что центр тяжести должен лежать на оси симметрии фигуры, то есть на оси $\text{Oy}$. Следовательно, его координата по оси $\text{Ox}$ равна нулю.

$x_c = 0$

Для нахождения координаты $y_c$ воспользуемся общей формулой для центра масс:

$y_c = \frac{\int y \, dm}{\int dm} = \frac{\int y \, dm}{M}$

где $\text{dm}$ — элемент массы, а $\text{M}$ — полная масса проволоки.

Рассмотрим малый элемент проволоки $\text{dm}$ с длиной $\text{dL}$. Так как проволока однородна, то $dm = \lambda \, dL$. Полная масса проволоки $\text{M}$ равна произведению ее линейной плотности на длину. Длина полуокружности равна $L = \pi r$. Таким образом, $M = \lambda \pi r$.

Подставим эти выражения в формулу для $y_c$:

$y_c = \frac{\int y \lambda \, dL}{\lambda L} = \frac{\int y \, dL}{L}$

Для вычисления интеграла удобно перейти к полярным координатам. Любая точка на полуокружности имеет координаты $(x, y)$, где $x = r \cos\theta$ и $y = r \sin\theta$. Угол $\theta$ изменяется от $\text{0}$ до $\pi$. Элемент длины дуги $\text{dL}$ в полярных координатах равен $dL = r \, d\theta$.

Теперь мы можем записать интеграл в числителе через угол $\theta$:

$\int y \, dL = \int_{0}^{\pi} (r \sin\theta) (r \, d\theta) = r^2 \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta$

Вычислим этот определенный интеграл:

$r^2 \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta = r^2 [-\cos\theta]_{0}^{\pi} = r^2 (-\cos\pi - (-\cos0)) = r^2 (-(-1) - (-1)) = r^2 (1 + 1) = 2r^2$

Теперь найдем координату $y_c$, подставив полученное значение интеграла и длину дуги $L = \pi r$ в формулу:

$y_c = \frac{2r^2}{\pi r} = \frac{2r}{\pi}$

Таким образом, центр тяжести полуокружности находится в точке с координатами $(0, \frac{2r}{\pi})$.

Ответ: Центр тяжести тонкой однородной проволоки, согнутой в виде полуокружности радиусом $\text{r}$, находится на ее оси симметрии на расстоянии $y_c = \frac{2r}{\pi}$ от центра диаметра.