Номер 6.6, страница 34 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.6, страница 34.

Условие.

6.6**. Как изменятся уровни жидкостей после открывания крана (см. задачу 6.5), если спирт заменить керосином? Керосин имеет ту же плотность, что и спирт, но, в отличие от него, не смешивается с водой. Капиллярные эффекты не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

В данной задаче рассматривается система сообщающихся сосудов, в одном из которых находится вода, а в другом — керосин. Плотность керосина ($ \rho_к $) меньше плотности воды ($ \rho_в $), и эти жидкости не смешиваются. Проанализируем, как изменятся уровни жидкостей после открытия крана, соединяющего сосуды.

Дано:

Начальная высота столба воды: $ h_в = H $
Начальная высота столба керосина: $ h_к = H $
Плотность воды: $ \rho_в $
Плотность керосина: $ \rho_к $
Из условия известно, что $ \rho_к < \rho_в $. Сосуды имеют одинаковую площадь поперечного сечения $ S $.

Найти:

Изменение уровней воды $ \Delta h_в $ и керосина $ \Delta h_к $.

Решение:
В начальном состоянии жидкости разделены краном, и их уровни в обоих сосудах одинаковы и равны $ H $.

После открытия крана система придет в состояние равновесия. Так как керосин имеет меньшую плотность, он окажется наверху, а более плотная вода — внизу. Поскольку жидкости не смешиваются, они разделятся: вода займет нижнюю часть обоих сосудов и соединительную трубку, а весь керосин соберется в одном из сосудов поверх воды.

Для расчета конечных уровней введем систему координат. Пусть ось $ y $ направлена вертикально вверх, а начало отсчета $ y=0 $ находится на уровне дна сосудов. Будем считать, что керосин собрался в левом сосуде.

Обозначим:

• $ y_{гр} $ — высота границы раздела воды и керосина в левом сосуде.
• $ y_в $ — конечная высота уровня воды в правом сосуде.
• $ y_к $ — конечная высота уровня керосина в левом сосуде.

Условие гидростатического равновесия заключается в равенстве давлений на любом горизонтальном уровне. Запишем это условие для уровня границы раздела жидкостей $ y_{гр} $: $ P_{атм} + \rho_к g (y_к - y_{гр}) = P_{атм} + \rho_в g (y_в - y_{гр}) $ $ \rho_к (y_к - y_{гр}) = \rho_в (y_в - y_{гр}) $ (1)

Теперь используем закон сохранения объема для каждой жидкости. Начальный объем керосина был $ V_к = S \cdot H $. В конечном состоянии он занимает объем в левом сосуде от $ y_{гр} $ до $ y_к $: $ S \cdot H = S \cdot (y_к - y_{гр}) \implies y_к - y_{гр} = H $ (2)

Начальный объем воды был $ V_в = S \cdot H $. В конечном состоянии вода занимает объем в левом сосуде до уровня $ y_{гр} $ и в правом сосуде до уровня $ y_в $: $ S \cdot H = S \cdot y_{гр} + S \cdot y_в \implies H = y_{гр} + y_в $ (3)

Получили систему из трех уравнений. Подставим (2) в (1): $ \rho_к H = \rho_в (y_в - y_{гр}) $

Из уравнения (3) выразим $ y_в = H - y_{гр} $ и подставим в предыдущее выражение: $ \rho_к H = \rho_в ( (H - y_{гр}) - y_{гр} ) $ $ \rho_к H = \rho_в (H - 2y_{гр}) $

Выразим отсюда высоту границы раздела $ y_{гр} $: $ \frac{\rho_к}{\rho_в} H = H - 2y_{гр} $ $ 2y_{гр} = H - H \frac{\rho_к}{\rho_в} $ $ y_{гр} = \frac{H}{2} \left(1 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) $

Теперь найдем конечные уровни жидкостей. Конечный уровень воды в правом сосуде: $ y_в = H - y_{гр} = H - \frac{H}{2} \left(1 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) = H \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{\rho_к}{2\rho_в}\right) = \frac{H}{2} \left(1 + \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) $

Конечный уровень керосина в левом сосуде: $ y_к = H + y_{гр} = H + \frac{H}{2} \left(1 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) = H \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{\rho_к}{2\rho_в}\right) = \frac{H}{2} \left(3 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) $

Сравним конечные уровни с начальным уровнем $ H $. Изменение уровня воды: $ \Delta h_в = y_в - H = \frac{H}{2} \left(1 + \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) - H = \frac{H}{2} \left(1 + \frac{\rho_к}{\rho_в} - 2\right) = \frac{H}{2} \left(\frac{\rho_к}{\rho_в} - 1\right) $ Так как $ \rho_к < \rho_в $, то $ \frac{\rho_к}{\rho_в} < 1 $, следовательно, $ \Delta h_в < 0 $. Уровень воды понизится.

Изменение уровня керосина: $ \Delta h_к = y_к - H = \frac{H}{2} \left(3 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) - H = \frac{H}{2} \left(3 - \frac{\rho_к}{\rho_в} - 2\right) = \frac{H}{2} \left(1 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) $ Так как $ \rho_к < \rho_в $, то $ \frac{\rho_к}{\rho_в} < 1 $, следовательно, $ \Delta h_к > 0 $. Уровень керосина повысится.

Ответ:
После открытия крана уровень воды в одном сосуде понизится, а уровень керосина в другом сосуде повысится. Уровень воды опустится на величину $ \frac{H}{2} \left(1 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) $, а уровень керосина поднимется на ту же величину $ \frac{H}{2} \left(1 - \frac{\rho_к}{\rho_в}\right) $, где $ H $ — начальная высота столбов жидкостей, $ \rho_в $ — плотность воды, $ \rho_к $ — плотность керосина.