Номер 6.7, страница 35 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.7, страница 35.

Условие.

6.7*. В стакане плавает кусок льда. Как изменится уровень воды, когда лед растает? Изменится ли ответ, если во льду находится кусок пробки? Стальная гайка?

Решение.

Решение 2.

Дано:

В стакане с водой плавает кусок льда. Рассматриваются три случая:
1. Лед чистый.
2. Внутри льда находится кусок пробки.
3. Внутри льда находится стальная гайка.
Плотности веществ: $\rho_л$ – плотность льда, $\rho_в$ – плотность воды, $\rho_п$ – плотность пробки, $\rho_г$ – плотность стали (гайки).
Соотношения плотностей: $\rho_л < \rho_в$, $\rho_п < \rho_в$, $\rho_г > \rho_в$.

Найти:

Как изменится уровень воды в каждом из трех случаев после полного таяния льда.

Решение:

Как изменится уровень воды, когда лед растает?

Пока кусок льда массой $m_л$ плавает в воде, он вытесняет объем воды $V_{погр}$, который можно найти из условия плавания тел: сила Архимеда $F_A$ равна силе тяжести $P_л$.
$F_A = P_л$
$\rho_в g V_{погр} = m_л g$
Отсюда объем вытесненной воды: $V_{погр} = \frac{m_л}{\rho_в}$.
Когда лед растает, он превратится в воду массой $m_л$. Объем этой воды будет равен:
$V_{воды} = \frac{m_л}{\rho_в}$.
Так как объем воды, получившейся изо льда, в точности равен объему воды, который лед вытеснял, плавая на поверхности, уровень воды в стакане не изменится.
Ответ: Уровень воды не изменится.

Изменится ли ответ, если во льду находится кусок пробки?

Пусть масса льда равна $m_л$, а масса пробки – $m_п$. Пока лед с пробкой плавает, он вытесняет объем воды $V_{погр}$, который находится из условия плавания (суммарный вес тела равен весу вытесненной жидкости):
$F_A = P_{общ}$
$\rho_в g V_{погр} = (m_л + m_п) g$
$V_{погр} = \frac{m_л + m_п}{\rho_в}$.
После таяния льда в стакане окажется вода, образовавшаяся изо льда, и плавающая пробка. Объем воды, образовавшейся изо льда, равен $V_{воды} = \frac{m_л}{\rho_в}$. Пробка, так как ее плотность меньше плотности воды ($\rho_п < \rho_в$), будет плавать и вытеснять объем воды $V_{погр\_п}$, который можно найти из условия плавания пробки:
$\rho_в g V_{погр\_п} = m_п g \implies V_{погр\_п} = \frac{m_п}{\rho_в}$.
Общий объем, занимаемый под водой растаявшим льдом и плавающей пробкой, равен сумме объема получившейся воды и объема, вытесняемого пробкой:
$V_{конечный} = V_{воды} + V_{погр\_п} = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_п}{\rho_в} = \frac{m_л + m_п}{\rho_в}$.
Этот объем в точности равен объему воды $V_{погр}$, вытеснявшемуся льдом с пробкой до таяния. Следовательно, уровень воды не изменится.
Ответ: Ответ не изменится, уровень воды останется прежним.

Стальная гайка?

Пусть масса льда равна $m_л$, а масса стальной гайки – $m_г$. Будем считать, что льда достаточно много, чтобы система "лед+гайка" плавала на поверхности. Условие плавания такое же: сила Архимеда равна суммарной силе тяжести.
Объем вытесненной воды до таяния: $V_{погр} = \frac{m_л + m_г}{\rho_в}$.
После таяния льда в стакане окажется вода, образовавшаяся изо льда, и гайка, которая утонет, так как ее плотность больше плотности воды ($\rho_г > \rho_в$).
Объем воды, образовавшейся изо льда, равен $V_{воды} = \frac{m_л}{\rho_в}$.
Утонувшая гайка вытесняет объем воды, равный ее собственному объему: $V_г = \frac{m_г}{\rho_г}$.
Общий объем, занимаемый под водой растаявшим льдом и гайкой, равен сумме объема получившейся воды и объема гайки:
$V_{конечный} = V_{воды} + V_г = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_г}{\rho_г}$.
Сравним начальный вытесненный объем $V_{погр}$ и конечный объем $V_{конечный}$.
$V_{погр} = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_г}{\rho_в}$
$V_{конечный} = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_г}{\rho_г}$
Поскольку сталь плотнее воды ($\rho_г > \rho_в$), то $\frac{m_г}{\rho_г} < \frac{m_г}{\rho_в}$.
Следовательно, $V_{конечный} < V_{погр}$. Объем, занимаемый телами под поверхностью воды, уменьшится. Это означает, что уровень воды в стакане понизится.
Ответ: Уровень воды понизится.