Номер 6.4, страница 34 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.4, страница 34.

Условие.

6.4. Аквариум имеет форму куба со стороной $a = 60$ см. До какой высоты $\text{h}$ надо налить в него воду, чтобы сила давления на боковую стенку была в 6 раз меньше, чем на дно? Атмосферное давление не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Аквариум в форме куба со стороной $a = 60 \text{ см}$

Соотношение сил давления: $F_{дно} = 6 \cdot F_{стенка}$

Перевод в систему СИ:

$a = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Сила давления ($\text{F}$) жидкости на поверхность равна произведению давления ($\text{P}$) на площадь ($\text{S}$) этой поверхности: $F = P \cdot S$.

Найдем силу давления на дно аквариума, $F_{дно}$. Давление на дно, создаваемое столбом воды высотой $\text{h}$, постоянно по всей площади дна и равно $P_{дно} = \rho g h$, где $\rho$ – плотность воды, $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Площадь дна равна $S_{дно} = a^2$.

Таким образом, сила давления на дно вычисляется по формуле:

$F_{дно} = P_{дно} \cdot S_{дно} = \rho g h a^2$

Теперь найдем силу давления на боковую стенку, $F_{стенка}$. Давление на боковую стенку изменяется с глубиной: от $\text{0}$ на поверхности воды до $\rho g h$ у дна. Для расчета силы давления на вертикальную стенку используется среднее гидростатическое давление $P_{ср}$. Поскольку давление на стенку изменяется линейно с глубиной, среднее давление равно полусумме минимального (на поверхности) и максимального (у дна) давлений:

$P_{ср} = \frac{0 + \rho g h}{2} = \frac{1}{2} \rho g h$

Площадь боковой стенки, на которую давит вода, равна $S_{стенка} = a \cdot h$.

Таким образом, сила давления на боковую стенку вычисляется по формуле:

$F_{стенка} = P_{ср} \cdot S_{стенка} = \left(\frac{1}{2} \rho g h\right) \cdot (a h) = \frac{1}{2} \rho g a h^2$

Согласно условию задачи, сила давления на боковую стенку в 6 раз меньше, чем на дно. Запишем это в виде уравнения:

$F_{дно} = 6 \cdot F_{стенка}$

Подставим полученные выражения для сил в это равенство:

$\rho g h a^2 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} \rho g a h^2\right)$

Упростим выражение:

$\rho g h a^2 = 3 \rho g a h^2$

Поскольку аквариум налит водой, то $h > 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на общие множители $\rho$, $\text{g}$, $\text{a}$ и $\text{h}$:

$a = 3h$

Отсюда находим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{a}{3}$

Подставим значение стороны куба $\text{a}$:

$h = \frac{60 \text{ см}}{3} = 20 \text{ см}$

Ответ: воду в аквариум надо налить до высоты 20 см.