Номер 6.10, страница 35 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.10, страница 35.

Условие.

6.10. Потонет ли в воде стеклянная бутылка, доверху наполненная водой? Бутылка со ртутью – в ртути?

Решение.

Решение 2.

Потонет ли в воде стеклянная бутылка, доверху наполненная водой?

Тело тонет в жидкости, если его средняя плотность больше плотности жидкости. В данном случае тело — это стеклянная бутылка, наполненная водой, а жидкость, в которую ее погружают, — это вода.

Пусть $V_{ст}$ — объем стекла, из которого изготовлена бутылка, а $V_{вн}$ — её внутренний объем (объем воды внутри). Общий объем тела, который оно вытесняет в воде, равен $V_{общ} = V_{ст} + V_{вн}$.

Масса тела складывается из массы стекла ($m_{ст} = \rho_{ст}V_{ст}$) и массы воды внутри ($m_{воды\_вн} = \rho_{воды}V_{вн}$), где $\rho_{ст}$ — плотность стекла, а $\rho_{воды}$ — плотность воды. Общая масса тела: $m_{общ} = m_{ст} + m_{воды\_вн} = \rho_{ст}V_{ст} + \rho_{воды}V_{вн}$.

Средняя плотность тела равна отношению его общей массы к общему объему:

$\rho_{ср} = \frac{m_{общ}}{V_{общ}} = \frac{\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{воды}V_{вн}}{V_{ст} + V_{вн}}$

Условие потопления тела в воде: $\rho_{ср} > \rho_{воды}$. Подставим в это неравенство выражение для средней плотности:

$\frac{\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{воды}V_{вн}}{V_{ст} + V_{вн}} > \rho_{воды}$

Умножим обе части неравенства на знаменатель $V_{ст} + V_{вн}$ (он всегда положителен):

$\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{воды}V_{вн} > \rho_{воды}(V_{ст} + V_{вн})$

$\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{воды}V_{вн} > \rho_{воды}V_{ст} + \rho_{воды}V_{вн}$

Вычтем из обеих частей слагаемое $\rho_{воды}V_{вн}$:

$\rho_{ст}V_{ст} > \rho_{воды}V_{ст}$

Так как объем стекла $V_{ст}$ больше нуля, разделим обе части на $V_{ст}$:

$\rho_{ст} > \rho_{воды}$

Плотность обычного стекла ($\rho_{ст} \approx 2500 \text{ кг/м}^3$) больше плотности воды ($\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$). Следовательно, неравенство выполняется, и бутылка, наполненная водой, утонет в воде.

Ответ: Да, потонет.

Бутылка со ртутью — в ртути?

Применим те же рассуждения. Тело — это стеклянная бутылка, наполненная ртутью, а жидкость — ртуть. Тело потонет, если его средняя плотность будет больше плотности ртути.

Средняя плотность бутылки с ртутью равна:

$\rho_{ср} = \frac{m_{общ}}{V_{общ}} = \frac{\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{ртути}V_{вн}}{V_{ст} + V_{вн}}$

Условие потопления в ртути: $\rho_{ср} > \rho_{ртути}$. Проведя аналогичные первому случаю алгебраические преобразования, мы снова получим, что это неравенство эквивалентно следующему:

$\rho_{ст} > \rho_{ртути}$

Сравним плотности: плотность стекла ($\rho_{ст} \approx 2500 \text{ кг/м}^3$) значительно меньше плотности ртути ($\rho_{ртути} \approx 13600 \text{ кг/м}^3$).

Таким образом, условие $\rho_{ст} > \rho_{ртути}$ не выполняется. Наоборот, выполняется условие $\rho_{ст} < \rho_{ртути}$, из которого следует, что средняя плотность бутылки с ртутью меньше плотности ртути ($\rho_{ср} < \rho_{ртути}$). Это означает, что бутылка будет плавать в ртути.

Ответ: Нет, не потонет, она будет плавать.