Номер 6.14, страница 35 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.14, страница 35.

Условие.

6.14*. К дню аквариума приклеена алюминиевая конструкция грибовидной формы (см. рисунок). С какой силой давит конструкция на дно аквариума? Атмосферное давление не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{h}$ - высота верхней части (шляпки) конструкции
$h_1$ - высота нижней части (ножки) конструкции
$\text{H}$ - высота уровня воды в аквариуме
$\text{D}$ - диаметр верхней части конструкции
$\text{d}$ - диаметр нижней части конструкции
$\rho_{ал}$ - плотность алюминия
$\rho_{в}$ - плотность воды
$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Найти:

$\text{F}$ - сила, с которой конструкция давит на дно аквариума.

Решение:

Сила, с которой конструкция давит на дно аквариума, по третьему закону Ньютона равна силе реакции опоры $\text{N}$, действующей на конструкцию со стороны дна. Для нахождения этой силы рассмотрим условие равновесия конструкции. На конструкцию действуют следующие вертикальные силы:

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вниз.
2. Силы гидростатического давления воды, действующие на поверхности конструкции.
3. Сила реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх.

Силу $\text{F}$ (равную $\text{N}$) можно найти, рассмотрев равновесие всей системы «вода + конструкция». Общий вес системы равен сумме весов воды и конструкции:

$W_{общ} = W_{в} + W_{к}$

Этот общий вес уравновешивается силой реакции со стороны всего дна аквариума. Сила реакции дна состоит из двух частей: силы $\text{F}$, действующей на конструкцию, и силы $F_{ост}$, действующей на остальную часть дна, покрытую водой.

$W_{общ} = F + F_{ост}$

Вес конструкции $W_{к}$ определяется ее объемом $V_{к}$ и плотностью алюминия $\rho_{ал}$:

$W_{к} = m_{к}g = \rho_{ал} V_{к} g$

Объем конструкции $V_{к}$ складывается из объемов двух цилиндров (шляпки и ножки):

$V_{к} = \frac{\pi D^2}{4}h + \frac{\pi d^2}{4}h_1 = \frac{\pi}{4}(D^2h + d^2h_1)$

Пусть общая площадь дна аквариума равна $S_{полн}$. Тогда объем воды в аквариуме равен:

$V_{в} = S_{полн}H - V_{к}$

Вес воды $W_{в}$:

$W_{в} = \rho_{в} V_{в} g = \rho_{в}g(S_{полн}H - V_{к})$

Сила $F_{ост}$ - это сила давления воды на ту часть дна, которая не занята конструкцией. Площадь этой части дна равна $S_{ост} = S_{полн} - S_{д}$, где $S_{д} = \frac{\pi d^2}{4}$ - площадь основания конструкции. Давление воды на дне равно $p = \rho_{в}gH$. Тогда:

$F_{ост} = p S_{ост} = \rho_{в}gH(S_{полн} - S_{д})$

Теперь подставим все выражения в уравнение равновесия $F + F_{ост} = W_{в} + W_{к}$:

$F + \rho_{в}gH(S_{полн} - S_{д}) = \rho_{в}g(S_{полн}H - V_{к}) + \rho_{ал}gV_{к}$

Раскроем скобки:

$F + \rho_{в}gHS_{полн} - \rho_{в}gHS_{д} = \rho_{в}gS_{полн}H - \rho_{в}gV_{к} + \rho_{ал}gV_{к}$

Сократим слагаемое $\rho_{в}gHS_{полн}$ в обеих частях уравнения:

$F - \rho_{в}gHS_{д} = - \rho_{в}gV_{к} + \rho_{ал}gV_{к}$

Выразим искомую силу $\text{F}$:

$F = (\rho_{ал} - \rho_{в})gV_{к} + \rho_{в}gHS_{д}$

Этот результат можно интерпретировать так: сила давления на дно равна «кажущемуся» весу конструкции в воде (вес минус выталкивающая сила) плюс сила давления столба воды высотой $\text{H}$ на площадь основания конструкции (поскольку вода не может попасть под основание и создать там выталкивающую силу).

Подставим выражения для объема конструкции $V_{к}$ и площади ее основания $S_{д}$:

$F = (\rho_{ал} - \rho_{в})g \frac{\pi}{4}(D^2h + d^2h_1) + \rho_{в}gH\frac{\pi d^2}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi g}{4}$ за скобки:

$F = \frac{\pi g}{4}[(\rho_{ал} - \rho_{в})(D^2h + d^2h_1) + \rho_{в}Hd^2]$

Ответ: $F = \frac{\pi g}{4}[(\rho_{ал} - \rho_{в})(D^2h + d^2h_1) + \rho_{в}Hd^2]$