Номер 6.12, страница 35 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.12, страница 35.

Условие.

6.12. Стеклянный шар уравновешивается на точных рычажных весах латунными гирями массой $m_1 = 170$ г. Взвешивание производится на уровне моря при температуре $0^{\circ}\text{C}$. Какова масса шара $\text{m}$? Гири какой массы $m_2$ потребуются для уравновешивания шара на высоте $h = 5,5$ км, где плотность воздуха уменьшается вдвое?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 170 \text{ г} = 0.17 \text{ кг}$

$h = 5.5 \text{ км} = 5500 \text{ м}$

$T = 0 \text{ °C}$

Плотность воздуха на высоте $\text{h}$ вдвое меньше плотности на уровне моря: $\rho_{воздуха2} = \frac{1}{2} \rho_{воздуха1}$

Справочные данные:

Плотность воздуха при 0 °C и нормальном давлении (на уровне моря): $\rho_{воздуха1} \approx 1.29 \text{ кг/м}^3$

Плотность стекла: $\rho_{стекла} \approx 2500 \text{ кг/м}^3$

Плотность латуни: $\rho_{латуни} \approx 8500 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$\text{m}$ - масса шара

$m_2$ - масса гирь на высоте $\text{h}$

Решение:

При взвешивании на рычажных весах в воздухе на тела действуют сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда. Условие равновесия весов означает, что вес шара равен весу гирь. Вес тела в воздухе $\text{P}$ равен разности силы тяжести $F_т=mg$ и архимедовой силы $F_A=\rho_{воздуха} V g$, где $\text{V}$ - объем тела.

Какова масса шара m?

При взвешивании на уровне моря условие равновесия имеет вид:

$P_{шара1} = P_{гирь1}$

$mg - F_{A,шара1} = m_1g - F_{A,гирь1}$

где $\text{m}$ — истинная масса шара, $\text{V}$ — его объем, $m_1$ — масса гирь, $V_1$ — их объем. Сила Архимеда для шара $F_{A,шара1} = \rho_{воздуха1} V g$, для гирь $F_{A,гирь1} = \rho_{воздуха1} V_1 g$.

Выразим объемы через массу и плотность: $V = m/\rho_{стекла}$ и $V_1 = m_1/\rho_{латуни}$.

Подставим в уравнение равновесия и сократим на $\text{g}$:

$m - \rho_{воздуха1} \frac{m}{\rho_{стекла}} = m_1 - \rho_{воздуха1} \frac{m_1}{\rho_{латуни}}$

Вынесем массы за скобки:

$m \left(1 - \frac{\rho_{воздуха1}}{\rho_{стекла}}\right) = m_1 \left(1 - \frac{\rho_{воздуха1}}{\rho_{латуни}}\right)$

Отсюда найдем истинную массу шара $\text{m}$:

$m = m_1 \frac{1 - \frac{\rho_{воздуха1}}{\rho_{латуни}}}{1 - \frac{\rho_{воздуха1}}{\rho_{стекла}}}$

Подставим числовые значения:

$m = 0.17 \cdot \frac{1 - \frac{1.29}{8500}}{1 - \frac{1.29}{2500}} = 0.17 \cdot \frac{1 - 0.000152}{1 - 0.000516} \approx 0.17 \cdot \frac{0.999848}{0.999484} \approx 0.17 \cdot 1.000364 \approx 0.170062 \text{ кг}$

Ответ: Масса шара $m \approx 170.062 \text{ г}$.

Гири какой массы m₂ потребуются для уравновешивания шара на высоте h?

На высоте $h=5.5$ км плотность воздуха $\rho_{воздуха2} = \frac{1}{2} \rho_{воздуха1} = \frac{1.29}{2} = 0.645 \text{ кг/м}^3$.

Пусть $m_2$ — масса гирь, необходимая для уравновешивания шара на этой высоте. Условие равновесия аналогично первому случаю, но с новой плотностью воздуха:

$m - \rho_{воздуха2} \frac{m}{\rho_{стекла}} = m_2 - \rho_{воздуха2} \frac{m_2}{\rho_{латуни}}$

Вынесем массы $\text{m}$ и $m_2$ за скобки:

$m \left(1 - \frac{\rho_{воздуха2}}{\rho_{стекла}}\right) = m_2 \left(1 - \frac{\rho_{воздуха2}}{\rho_{латуни}}\right)$

Выразим массу гирь $m_2$:

$m_2 = m \frac{1 - \frac{\rho_{воздуха2}}{\rho_{стекла}}}{1 - \frac{\rho_{воздуха2}}{\rho_{латуни}}}$

Подставим числовые значения, используя найденную ранее массу шара $m \approx 0.170062 \text{ кг}$:

$m_2 = 0.170062 \cdot \frac{1 - \frac{0.645}{2500}}{1 - \frac{0.645}{8500}} = 0.170062 \cdot \frac{1 - 0.000258}{1 - 0.000076} \approx 0.170062 \cdot \frac{0.999742}{0.999924} \approx 0.170062 \cdot 0.999818 \approx 0.170031 \text{ кг}$

Ответ: На высоте 5,5 км потребуются гири массой $m_2 \approx 170.031 \text{ г}$.