Номер 6.11, страница 35 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.11, страница 35.

Условие.

6.11* В воде плавает льдина толщиной $H = 0,5 \text{ м}$ и площадью $S = 5 \text{ м}^2$. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$H = 0.5$ м

$S = 5$ м²

$\rho_в = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

$\rho_л \approx 900$ кг/м³ (плотность льда, справочное значение)

$g \approx 10$ Н/кг (ускорение свободного падения)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{A}$ - работу, которую надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду.

Решение:

1. В начальном состоянии льдина плавает, это означает, что сила тяжести, действующая на льдину, уравновешена выталкивающей силой Архимеда. Определим начальную глубину погружения льдины $h_1$.

Сила тяжести: $F_т = m_л g = \rho_л V_л g = \rho_л S H g$.

Сила Архимеда: $F_{А1} = \rho_в V_{погр} g = \rho_в S h_1 g$.

Из условия плавания $F_т = F_{А1}$ следует:

$\rho_л S H g = \rho_в S h_1 g$

Отсюда находим глубину погруженной части:

$h_1 = H \frac{\rho_л}{\rho_в}$

Подставим числовые значения:

$h_1 = 0.5 \text{ м} \cdot \frac{900 \text{ кг/м³}}{1000 \text{ кг/м³}} = 0.45$ м.

2. Для того чтобы полностью погрузить льдину, ее верхняя плоскость должна оказаться на уровне воды. Следовательно, льдину необходимо опустить вниз на расстояние $\Delta h$, равное высоте ее надводной части.

$\Delta h = H - h_1 = 0.5 \text{ м} - 0.45 \text{ м} = 0.05$ м.

3. При погружении льдины на дополнительную глубину $\text{x}$ (где $0 \le x \le \Delta h$), на нее действует увеличивающаяся сила Архимеда. Чтобы погружать льдину медленно (без ускорения), необходимо прикладывать внешнюю силу $F_{вн}(x)$, которая в каждый момент времени будет уравновешивать разность между силой Архимеда и силой тяжести.

$F_{вн}(x) + F_т = F_А(x)$

$F_{вн}(x) = F_А(x) - F_т$

Сила Архимеда при погружении на глубину $(h_1 + x)$ равна $F_А(x) = \rho_в g S (h_1 + x)$.

Поскольку изначальная сила тяжести $F_т$ равна начальной силе Архимеда $F_{А1} = \rho_в g S h_1$, то:

$F_{вн}(x) = \rho_в g S (h_1 + x) - \rho_в g S h_1 = \rho_в g S x$.

Эта формула показывает, что прикладываемая сила линейно возрастает с глубиной погружения $\text{x}$ от $F_{вн}(0) = 0$ до максимального значения $F_{вн, макс} = \rho_в g S \Delta h$ в конце процесса.

4. Работа переменной силы, которая линейно изменяется с расстоянием от 0 до $F_{макс}$, вычисляется как площадь треугольника на графике зависимости силы от перемещения.

$A = \frac{1}{2} F_{вн, макс} \cdot \Delta h = \frac{1}{2} (\rho_в g S \Delta h) \cdot \Delta h = \frac{1}{2} \rho_в g S (\Delta h)^2$.

Теперь подставим числовые значения в формулу для работы:

$A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 5 \text{ м}^2 \cdot (0.05 \text{ м})^2$

$A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0.0025 = 25000 \cdot 0.0025 = 62.5$ Дж.

Ответ: чтобы полностью погрузить льдину в воду, надо совершить работу 62,5 Дж.