Номер 6.13, страница 35 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.13, страница 35.

Условие.

6.13. Воздушный шар объемом $V = 300 \text{ м}^3$ парит вблизи поверхности Земли. С шара сбросили балласт, и шар поднялся на высоту, где плотность воздуха вдвое меньше. Какова масса $\text{m}$ балласта, если объем шара при подъеме увеличился в полтора раза? Температуру воздуха считайте равной $0 \degree C$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальный объем шара $V_1 = 300$ м³

Соотношение плотностей воздуха: $\rho_2 = \frac{1}{2} \rho_1$

Соотношение объемов шара: $V_2 = 1.5 V_1$

Температура воздуха: $t = 0$ °C

Плотность воздуха при нормальных условиях (температура 0 °C и давление 1 атм) является справочной величиной: $\rho_1 \approx 1.29$ кг/м³. Все остальные величины даны в единицах СИ.

Найти:

Массу балласта $\text{m}$.

Решение:

Задача решается с помощью применения закона Архимеда и второго закона Ньютона (условия равновесия).

1. В начальном состоянии шар с балластом парит у поверхности Земли. Это означает, что силы, действующие на него, скомпенсированы. Вверх действует выталкивающая сила Архимеда $F_{A1}$, а вниз — сила тяжести $F_{g1}$.

$F_{A1} = F_{g1}$

Выталкивающая сила равна весу вытесненного воздуха: $F_{A1} = \rho_1 V_1 g$, где $\rho_1$ — плотность воздуха у поверхности.

Сила тяжести равна суммарному весу оболочки шара с газом внутри (обозначим их массу как $\text{M}$) и балласта (масса $\text{m}$): $F_{g1} = (M + m)g$.

Приравнивая силы и сокращая на $\text{g}$, получаем первое уравнение:

$\rho_1 V_1 = M + m$ (1)

2. После сбрасывания балласта шар поднимается на высоту, где он снова парит в равновесии. Его масса теперь равна $\text{M}$. Объем шара стал $V_2$, а плотность окружающего воздуха — $\rho_2$.

Условие равновесия на высоте: $F_{A2} = F_{g2}$.

$F_{A2} = \rho_2 V_2 g$

$F_{g2} = Mg$

Приравнивая силы, получаем второе уравнение:

$\rho_2 V_2 = M$ (2)

3. Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $\text{M}$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$\rho_1 V_1 = (\rho_2 V_2) + m$

Отсюда выражаем искомую массу балласта $\text{m}$:

$m = \rho_1 V_1 - \rho_2 V_2$

4. Используем соотношения, данные в условии: $\rho_2 = \frac{1}{2}\rho_1$ и $V_2 = 1.5 V_1$.

$m = \rho_1 V_1 - (\frac{1}{2}\rho_1) \cdot (1.5 V_1)$

$m = \rho_1 V_1 - 0.75 \rho_1 V_1$

$m = 0.25 \rho_1 V_1$

5. Подставим числовые значения. Плотность воздуха у поверхности при 0 °C $\rho_1 \approx 1.29$ кг/м³.

$m = 0.25 \cdot 1.29 \text{ кг/м³} \cdot 300 \text{ м³}$

$m = 96.75$ кг.

Ответ: масса сброшенного балласта равна $96.75$ кг.