Номер 6.18, страница 36 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.18, страница 36.

Условие.

6.18*. Доска толщиной 5 см плавает в воде, погрузившись на 70%. Поверх воды разливается слой нефти толщиной 1 см. На сколько будет выступать доска над поверхностью нефти?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Толщина доски, $H = 5$ см

Начальная доля погружения в воде = 70%

Толщина слоя нефти, $h_{слоя\_нефти} = 1$ см

Плотность воды (табличное значение), $\rho_{в} = 1000$ кг/м³

Плотность нефти (примем среднее табличное значение), $\rho_{н} = 800$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

$H = 0.05$ м

$h_{слоя\_нефти} = 0.01$ м

Найти:

$h_{выст}$ — высота части доски, выступающей над поверхностью нефти.

Решение:

1. Сначала определим плотность материала доски ($\rho_д$). Когда доска плавает в воде, сила тяжести, действующая на нее, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда). Это условие плавания тел.

Сила тяжести доски: $F_т = m_д g = \rho_д V_д g = \rho_д S H g$, где $\text{S}$ — площадь основания доски, а $V_д$ — ее полный объем.

Выталкивающая сила со стороны воды: $F_{А,в} = \rho_в V_{погр} g$.

Объем погруженной части доски $V_{погр} = S \cdot h_1$, где $h_1$ — глубина погружения.

По условию, доска погружена на 70% своей толщины, следовательно $h_1 = 0.7 \cdot H$.

Из условия равновесия $F_т = F_{А,в}$ следует:

$\rho_д S H g = \rho_в (S \cdot 0.7 H) g$

Сократив обе части уравнения на $S, H, g$, получим соотношение для плотности доски:

$\rho_д = 0.7 \rho_в = 0.7 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 = 700 \text{ кг/м}^3$.

2. Теперь рассмотрим ситуацию, когда поверх воды налит слой нефти толщиной $h_{слоя\_нефти} = 1$ см.

Доска теперь будет плавать на границе двух жидкостей, и ее вес будет уравновешиваться суммой двух выталкивающих сил: со стороны нефти ($F_{А,н}$) и со стороны воды ($F_{А,в}'$).

$F_т = F_{А,н} + F_{А,в}'$

Пусть $h_н$ — глубина погружения доски в нефть, а $h_в$ — глубина погружения в воду. Тогда:

$F_{А,н} = \rho_н (S h_н) g$

$F_{А,в}' = \rho_в (S h_в) g$

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho_д S H g = \rho_н S h_н g + \rho_в S h_в g$

Сократив на $\text{S}$ и $\text{g}$, получим:

$\rho_д H = \rho_н h_н + \rho_в h_в$

3. Так как толщина доски (5 см) значительно больше толщины слоя нефти (1 см), а начальная глубина погружения составляла $0.7 \cdot 5 = 3.5$ см, доска определенно пройдет сквозь весь слой нефти. Это означает, что глубина погружения доски в нефть будет равна толщине слоя нефти:

$h_н = h_{слоя\_нефти} = 1$ см.

Теперь мы можем найти глубину погружения в воду $h_в$ из уравнения равновесия. Для удобства проведем расчеты в г/см³ ($\rho_д = 0.7$ г/см³, $\rho_в = 1$ г/см³, $\rho_н = 0.8$ г/см³):

$0.7 \text{ г/см}^3 \cdot 5 \text{ см} = 0.8 \text{ г/см}^3 \cdot 1 \text{ см} + 1 \text{ г/см}^3 \cdot h_в$

$3.5 = 0.8 + h_в$

$h_в = 3.5 - 0.8 = 2.7$ см.

4. Найдем высоту части доски, выступающей над поверхностью нефти.

Общая глубина погружения доски в обе жидкости составляет:

$h_{общ} = h_н + h_в = 1 \text{ см} + 2.7 \text{ см} = 3.7$ см.

Тогда высота выступающей части доски равна разности ее полной толщины и общей глубины погружения:

$h_{выст} = H - h_{общ} = 5 \text{ см} - 3.7 \text{ см} = 1.3$ см.

Ответ: доска будет выступать над поверхностью нефти на 1.3 см.