Номер 6.19, страница 36 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.19, страница 36.

Условие.

6.19*: Стальной кубик с длиной ребра $a = 10 \text{ см}$ плавает в ртути. Поверх ртути наливают воду вровень с верхней гранью кубика. Какова высота $\text{H}$ слоя воды?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина ребра кубика, $a = 10 \text{ см}$
Плотность стали, $\rho_с = 7800 \text{ кг/м}^3$
Плотность ртути, $\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$
Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Высота слоя воды, $H - ?$

Решение:

Когда кубик плавает, он находится в равновесии. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на кубик, уравновешивается суммой выталкивающих (архимедовых) сил со стороны жидкостей, в которые он погружен — воды и ртути.

Условие равновесия кубика можно записать в виде:

$F_g = F_{А, в} + F_{А, рт}$

где $F_g$ — сила тяжести, $F_{А, в}$ — сила Архимеда со стороны воды, $F_{А, рт}$ — сила Архимеда со стороны ртути.

Распишем каждую из сил:

1. Сила тяжести, действующая на кубик: $F_g = m \cdot g = \rho_с \cdot V_к \cdot g = \rho_с \cdot a^3 \cdot g$, где $\rho_с$ — плотность стали, а $V_к = a^3$ — объем кубика.

2. Сила Архимеда со стороны воды: $F_{А, в} = \rho_в \cdot g \cdot V_{погр, в}$, где $\rho_в$ — плотность воды, а $V_{погр, в}$ — объем части кубика, погруженной в воду. По условию, высота слоя воды равна $\text{H}$, значит, $V_{погр, в} = S \cdot H = a^2 \cdot H$, где $S = a^2$ — площадь основания кубика.

3. Сила Архимеда со стороны ртути: $F_{А, рт} = \rho_{рт} \cdot g \cdot V_{погр, рт}$, где $\rho_{рт}$ — плотность ртути. Так как вода налита вровень с верхней гранью кубика, то вся его высота $\text{a}$ находится под уровнем жидкостей. Высота части, погруженной в ртуть, равна $h_{рт} = a - H$. Тогда объем, погруженный в ртуть: $V_{погр, рт} = S \cdot h_{рт} = a^2 \cdot (a - H)$.

Теперь подставим все выражения в исходное уравнение равновесия:

$\rho_с \cdot a^3 \cdot g = \rho_в \cdot g \cdot (a^2 \cdot H) + \rho_{рт} \cdot g \cdot (a^2 \cdot (a - H))$

Можно сократить обе части уравнения на общий множитель $g \cdot a^2$:

$\rho_с \cdot a = \rho_в \cdot H + \rho_{рт} \cdot (a - H)$

Раскроем скобки и выразим искомую высоту $\text{H}$:

$\rho_с \cdot a = \rho_в \cdot H + \rho_{рт} \cdot a - \rho_{рт} \cdot H$

$\rho_{рт} \cdot H - \rho_в \cdot H = \rho_{рт} \cdot a - \rho_с \cdot a$

$H \cdot (\rho_{рт} - \rho_в) = a \cdot (\rho_{рт} - \rho_с)$

Отсюда находим $\text{H}$:

$H = a \cdot \frac{\rho_{рт} - \rho_с}{\rho_{рт} - \rho_в}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$H = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{13600 \text{ кг/м}^3 - 7800 \text{ кг/м}^3}{13600 \text{ кг/м}^3 - 1000 \text{ кг/м}^3} = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{5800}{12600} \approx 0.1 \text{ м} \cdot 0.4603$

$H \approx 0.046 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $H \approx 4.6 \text{ см}$.

Ответ: высота слоя воды $H \approx 4.6 \text{ см}$.