Номер 6.26, страница 36 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.26, страница 36.

Условие.

6.26* В воде на некоторой глубине плавает полый шар. Вернется ли он на прежнюю глубину, если его погрузить ниже и отпустить? При решении учитывайте сжимаемость шара и воды.

Решение.

Решение 2.

Решение

По условию, сплошной шар изначально плавает в воде на некоторой глубине. Это означает, что он находится в состоянии безразличного равновесия: действующая на него сила тяжести $F_g$ полностью уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

$F_g = F_A$

Силу тяжести можно выразить через среднюю плотность шара $\rho_{ш}$ и его объем $V_{ш}$ как $F_g = \rho_{ш} V_{ш} g$. Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_A = \rho_{в} V_{ш} g$, где $\rho_{в}$ — плотность воды на данной глубине. Из условия равновесия следует, что в начальном положении плотность шара равна плотности воды:

$\rho_{ш} = \rho_{в}$

Далее шар погружают на большую глубину. С увеличением глубины растет гидростатическое давление. В задаче требуется учесть сжимаемость шара и воды. Увеличение давления приводит к сжатию обоих тел, что вызывает уменьшение их объемов и, как следствие, увеличение их плотностей.

Обозначим новые плотности на большей глубине как $\rho'_{ш}$ и $\rho'_{в}$. Характер дальнейшего движения шара зависит от соотношения этих новых плотностей:

- Если $\rho'_{ш} < \rho'_{в}$, то выталкивающая сила станет больше силы тяжести ($F'_A > F_g$), и шар будет выталкиваться вверх, стремясь вернуться на прежнюю глубину. Такое равновесие является устойчивым.

- Если $\rho'_{ш} > \rho'_{в}$, то сила тяжести превысит выталкивающую силу ($F_g > F'_A$), и шар продолжит тонуть. Такое равновесие является неустойчивым.

- Если $\rho'_{ш} = \rho'_{в}$, шар останется в равновесии и на новой глубине (безразличное равновесие).

Ключевым моментом для решения является сравнение сжимаемости сплошного шара и воды. Сжимаемость — это свойство вещества изменять свой объем под действием давления. Для подавляющего большинства твердых тел сжимаемость значительно меньше, чем сжимаемость жидкостей, в частности воды.

Это означает, что при одинаковом увеличении давления плотность воды увеличится в большей степени, чем плотность материала, из которого сделан шар.

Поскольку в начальном состоянии плотности были равны ($\rho_{ш} = \rho_{в}$), а при увеличении давления приращение плотности у воды оказалось больше, то на новой, большей глубине плотность шара станет меньше плотности воды:

$\rho'_{ш} < \rho'_{в}$

Таким образом, на шар начнет действовать результирующая выталкивающая сила, направленная вверх. Эта сила заставит шар всплывать до тех пор, пока он не вернется в исходное положение равновесия, где его плотность снова станет равной плотности окружающей воды.

Ответ: Да, шар вернется на прежнюю глубину. Равновесие шара в данном случае является устойчивым. При погружении на большую глубину давление возрастает, что приводит к сжатию и шара, и воды. Однако вода сжимается сильнее, чем материал сплошного шара. В результате плотность воды увеличится в большей степени, чем плотность шара. Это приведет к тому, что выталкивающая сила станет превосходить силу тяжести, и шар будет вытолкнут обратно на исходную глубину.