Номер 7.1, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.1, страница 37.

Условие.

7.1. Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь, равный 1 см, если в начальный момент маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет:

а) первую половину этого пути;

б) вторую половину этого пути?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина математического маятника $l = 1$ м

Амплитуда колебаний $A = 1$ см

Пройденный путь $S = 1$ см

Начальное условие: в момент $t=0$ маятник находится в положении равновесия ($x=0$).

Перевод в систему СИ:

$A = 0.01$ м

$S = 0.01$ м

Найти:

$\text{t}$ - общее время прохождения пути $\text{S}$.

$t_a$ - время прохождения первой половины пути ($S/2$).

$t_b$ - время прохождения второй половины пути ($S/2$).

Решение:

Движение математического маятника при малых отклонениях является гармоническим колебанием. Поскольку в начальный момент времени ($t=0$) маятник проходит положение равновесия, уравнение его движения (смещения $\text{x}$ от положения равновесия) можно записать в виде:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

где $\text{A}$ - амплитуда, а $\omega$ - циклическая (угловая) частота колебаний. Для математического маятника она равна:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Здесь $\text{g}$ - ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8$ м/с²), $\text{l}$ - длина маятника.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой как $T = 2\pi / \omega$. Вычислим период для данного маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \sqrt{0.10204} \approx 6.2832 \cdot 0.3194 \approx 2.007$ с

Маятник должен пройти путь $S=1$ см, начиная из положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний ($A = 1$ см). Время, за которое маятник смещается из положения равновесия ($x=0$) до точки максимального отклонения ($x=A$), составляет одну четверть периода ($T/4$).

$t = \frac{T}{4} = \frac{2.007 \text{ с}}{4} \approx 0.502$ с

Ответ: Маятник пройдет путь, равный 1 см, за время приблизительно 0.502 с.

а) первую половину этого пути

Первая половина пути составляет $S_1 = S/2 = 0.5$ см. Это соответствует смещению от положения равновесия до $x_1 = A/2$. Найдем время $t_a$, подставив $x(t_a) = A/2$ в уравнение движения:

$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_a)$

$\sin(\omega t_a) = \frac{1}{2}$

Отсюда фаза колебания $\omega t_a = \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Зная, что $\omega = 2\pi/T$, выразим время $t_a$:

$\frac{2\pi}{T} t_a = \frac{\pi}{6}$

$t_a = \frac{T}{12}$

Подставим численное значение периода:

$t_a = \frac{2.007 \text{ с}}{12} \approx 0.167$ с

Ответ: Первую половину пути маятник пройдет за время приблизительно 0.167 с.

б) вторую половину этого пути

Вторая половина пути соответствует движению маятника от смещения $x_1 = A/2$ до максимального смещения $x_2 = A$. Время $t_b$, затраченное на этот участок, можно найти как разность между общим временем движения до точки $x=A$ и временем движения до точки $x=A/2$.

$t_b = t - t_a$

Используя выражения через период:

$t_b = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T - T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$

Подставим численное значение периода:

$t_b = \frac{2.007 \text{ с}}{6} \approx 0.335$ с

Проверка: $t_a + t_b \approx 0.167 \text{ с} + 0.335 \text{ с} = 0.502 \text{ с}$, что совпадает с общим временем $\text{t}$.

Ответ: Вторую половину пути маятник пройдет за время приблизительно 0.335 с.