Номер 6.27, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.27, страница 37.

Условие.

6.27. Сплошные шары — алюминиевый и железный — уравновешены на рычаге. Нарушится ли равновесие, если оба шара полностью погрузить в воду? Рассмотрите случаи, когда шары имеют:

а) одинаковую массу;

б) одинаковый объем.

Решение.

Решение 2.

Решение

Изначально сплошные шары — алюминиевый и железный — уравновешены на рычаге. Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи: $M_{1} = M_{2}$. Момент силы определяется как произведение силы на плечо: $M = F \cdot l$. В воздухе на шары действует сила тяжести $P = mg$. Таким образом, начальное условие равновесия имеет вид:

$m_{ал} g l_{ал} = m_{ж} g l_{ж}$

где $m_{ал}$ и $l_{ал}$ — масса и плечо алюминиевого шара, а $m_{ж}$ и $l_{ж}$ — масса и плечо железного шара.

При погружении шаров в воду на каждый из них начинает действовать выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх. Величина этой силы равна $F_A = \rho_в g V$, где $\rho_в$ — плотность воды, а $\text{V}$ — объем погруженной части тела (в данном случае, полный объем шара). Результирующая сила, действующая на рычаг от каждого шара (их вес в воде), станет равной $P' = P - F_A = mg - \rho_в g V$.

Новые моменты сил будут $M'_{ал} = P'_{ал} l_{ал}$ и $M'_{ж} = P'_{ж} l_{ж}$. Равновесие нарушится, если $M'_{ал} \ne M'_{ж}$.

Плотность железа ($\rho_{ж} \approx 7800 \text{ кг/м}^3$) больше плотности алюминия ($\rho_{ал} \approx 2700 \text{ кг/м}^3$).

а) одинаковую массу

Пусть массы алюминиевого и железного шаров одинаковы: $m_{ал} = m_{ж} = m$. Из начального условия равновесия рычага $m_{ал} g l_{ал} = m_{ж} g l_{ж}$ следует, что плечи рычага также должны быть одинаковы: $l_{ал} = l_{ж} = l$.

Объем шаров можно выразить через массу и плотность: $V = m/\rho$. Поскольку плотность железа больше плотности алюминия ($\rho_{ж} > \rho_{ал}$), а массы шаров равны, объем алюминиевого шара будет больше объема железного шара: $V_{ал} = m/\rho_{ал} > m/\rho_{ж} = V_{ж}$.

При погружении шаров в воду на них начинает действовать выталкивающая сила (сила Архимеда), равная $F_A = \rho_{в} g V$. Так как $V_{ал} > V_{ж}$, выталкивающая сила, действующая на алюминиевый шар, будет больше, чем на железный: $F_{А, ал} > F_{А, ж}$.

Вес шаров в воде (кажущийся вес) будет равен $P' = mg - F_A$. Так как на алюминиевый шар действует большая выталкивающая сила, его вес в воде уменьшится сильнее. Следовательно, кажущийся вес железного шара станет больше кажущегося веса алюминиевого: $P'_{ж} > P'_{ал}$.

Поскольку плечи рычага равны, больший вес создаст больший момент силы. Момент силы со стороны железного шара станет больше: $M'_{ж} > M'_{ал}$. Равновесие нарушится, и чаша с железным шаром перевесит.

Ответ: равновесие нарушится, перевесит железный шар.

б) одинаковый объем

Пусть объемы алюминиевого и железного шаров одинаковы: $V_{ал} = V_{ж} = V$. Массу шаров можно выразить через объем и плотность: $m = \rho V$. Поскольку плотность железа больше плотности алюминия ($\rho_{ж} > \rho_{ал}$), при одинаковом объеме масса железного шара будет больше массы алюминиевого: $m_{ж} > m_{ал}$.

Из начального условия равновесия рычага $m_{ал} g l_{ал} = m_{ж} g l_{ж}$ следует, что для компенсации большей массы железного шара его плечо рычага должно быть короче: $l_{ж} < l_{ал}$.

При погружении шаров в воду на них действует выталкивающая сила $F_A = \rho_{в} g V$. Так как объемы шаров одинаковы, выталкивающие силы, действующие на них, также будут одинаковы: $F_{А, ал} = F_{А, ж} = F_A$.

Новые моменты сил, действующие на рычаг, будут равны $M' = (mg - F_A)l$:

$M'_{ал} = (m_{ал}g - F_A)l_{ал} = m_{ал}g l_{ал} - F_A l_{ал}$

$M'_{ж} = (m_{ж}g - F_A)l_{ж} = m_{ж}g l_{ж} - F_A l_{ж}$

Изначально моменты были равны: $m_{ал}g l_{ал} = m_{ж}g l_{ж} = M$. После погружения в воду от каждого из моментов отнимается величина, равная моменту выталкивающей силы $F_A l$.

Так как плечо алюминиевого шара длиннее ($l_{ал} > l_{ж}$), то и вычитаемый момент для него будет больше: $F_A l_{ал} > F_A l_{ж}$. Следовательно, момент силы со стороны алюминиевого шара уменьшится на большую величину, чем момент со стороны железного шара. В результате момент железного шара станет больше: $M'_{ж} > M'_{ал}$. Равновесие нарушится, и чаша с железным шаром перевесит.

Ответ: равновесие нарушится, перевесит железный шар.