Номер 7.2, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.2, страница 37.

Условие.

7.2. Маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 6 см. Какую часть периода маятник находится не далее 3 см от положения равновесия?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 6 \text{ см}$

Рассматриваемый диапазон смещений, $|x| \le 3 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$A = 0.06 \text{ м}$

$|x| \le 0.03 \text{ м}$

Найти:

Часть периода $\frac{\Delta t}{T}$, в течение которой маятник находится в заданном диапазоне.

Решение:

Гармонические колебания маятника описываются уравнением $x(t) = A \sin(\omega t)$, где $\text{x}$ - смещение от положения равновесия, $\text{A}$ - амплитуда, $\omega = \frac{2\pi}{T}$ - циклическая частота, а $\text{T}$ - период колебаний. Выбор функции синуса соответствует началу движения из положения равновесия при $t=0$.

Условие, что маятник находится "не далее 3 см от положения равновесия", математически записывается в виде неравенства: $|x| \le 3$ см.

Подставим уравнение движения в это неравенство:

$|A \sin(\omega t)| \le 3$

Используя данное значение амплитуды $A = 6$ см, получим:

$|6 \sin(\omega t)| \le 3$

Разделив обе части на 6, приходим к неравенству для синуса фазы колебаний:

$|\sin(\omega t)| \le \frac{1}{2}$

Это эквивалентно двойному неравенству: $-\frac{1}{2} \le \sin(\omega t) \le \frac{1}{2}$.

Чтобы найти общую продолжительность времени, в течение которого выполняется это условие, сначала определим время $t_1$, необходимое маятнику для перемещения из положения равновесия ($x=0$) до границы указанной области ($x=3$ см).

$x(t_1) = 3 \implies A \sin(\omega t_1) = 3 \implies 6 \sin(\frac{2\pi}{T} t_1) = 3$

Отсюда получаем: $\sin(\frac{2\pi}{T} t_1) = \frac{1}{2}$.

Наименьшее положительное значение фазы $\frac{2\pi}{T} t_1$, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $\frac{\pi}{6}$ радиан.

$\frac{2\pi}{T} t_1 = \frac{\pi}{6}$

Из этого уравнения выражаем время $t_1$:

$t_1 = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

За один полный период колебаний маятник проходит через область $|x| \le 3$ см четыре раза. В силу симметрии гармонического движения, время прохождения каждого из этих участков одинаково и равно $t_1$. Эти четыре участка соответствуют движению: от $x=0$ до $x=3$ см, от $x=3$ см до $x=0$, от $x=0$ до $x=-3$ см и от $x=-3$ см до $x=0$.

Таким образом, общее время $\Delta t$, которое маятник проводит в указанной области за один период, равно сумме времен этих четырех проходов:

$\Delta t = 4 \cdot t_1 = 4 \cdot \frac{T}{12} = \frac{T}{3}$

Искомая часть периода представляет собой отношение $\frac{\Delta t}{T}$:

$\frac{\Delta t}{T} = \frac{T/3}{T} = \frac{1}{3}$

Ответ: маятник находится не далее 3 см от положения равновесия в течение $\frac{1}{3}$ периода.