Номер 7.5, страница 38 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.5, страница 38.

Условие.

7.5*. Стоя на вершине горы (см. задачу 7.4), барон Мюнхаузен решил восстановить точность своих маятниковых часов. На какую часть длины он должен укоротить маятник?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Маятниковые часы, откалиброванные для точного хода на уровне моря.
$l_0$ — начальная (исходная) длина маятника.
$g_0$ — ускорение свободного падения на уровне моря.
$\text{h}$ — высота горы.
$\text{R}$ — радиус Земли.
$g_h$ — ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$.
$l_h$ — новая длина маятника для точного хода на высоте $\text{h}$.

Найти:

Относительное укорочение маятника $\frac{\Delta l}{l_0}$, где $\Delta l = l_0 - l_h$.

Решение:
Период колебаний математического маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

На уровне моря часы идут точно, их период колебаний составляет $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g_0}}$.

На вершине горы (высота $\text{h}$) ускорение свободного падения $g_h$ меньше, чем $g_0$. Чтобы восстановить точность хода часов, их период должен снова стать равным $T_0$. Это достигается изменением длины маятника до нового значения $l_h$. Таким образом, для нового периода на высоте $\text{h}$ должно выполняться условие: $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l_h}{g_h}}$

Приравнивая два выражения для периода $T_0$, получаем: $2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g_0}} = 2\pi\sqrt{\frac{l_h}{g_h}}$

После возведения в квадрат обеих частей равенства и преобразования, находим соотношение между новой и старой длинами маятника: $\frac{l_0}{g_0} = \frac{l_h}{g_h} \implies \frac{l_h}{l_0} = \frac{g_h}{g_0}$

Искомая относительная величина укорочения маятника равна: $\frac{\Delta l}{l_0} = \frac{l_0 - l_h}{l_0} = 1 - \frac{l_h}{l_0}$

Подставляя найденное соотношение длин, получаем: $\frac{\Delta l}{l_0} = 1 - \frac{g_h}{g_0}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли (радиус $\text{R}$, масса $\text{M}$) и на высоте $\text{h}$ над поверхностью определяется законом всемирного тяготения: $g_0 = G\frac{M}{R^2}$
$g_h = G\frac{M}{(R+h)^2}$

Отношение ускорений свободного падения равно: $\frac{g_h}{g_0} = \frac{G M / (R+h)^2}{G M / R^2} = \frac{R^2}{(R+h)^2}$

Подставим это отношение в формулу для относительного укорочения маятника: $\frac{\Delta l}{l_0} = 1 - \frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{(R+h)^2 - R^2}{(R+h)^2} = \frac{R^2 + 2Rh + h^2 - R^2}{(R+h)^2} = \frac{2Rh + h^2}{(R+h)^2}$

Это точный ответ. В большинстве практических случаев высота горы $\text{h}$ значительно меньше радиуса Земли $\text{R}$ ($h \ll R$). В этом случае можно использовать приближение: $\frac{\Delta l}{l_0} \approx \frac{2h}{R}$

Ответ: Маятник необходимо укоротить на часть длины, равную $\frac{2Rh + h^2}{(R+h)^2}$.