Номер 7.12, страница 39 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.12, страница 39.

Условие.

7.12**. Два грузика с массами $m_1$ и $m_2$, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены легкой пружиной. Жесткость пружины $\text{k}$. Каков период $\text{T}$ свободных колебаний системы, если при колебаниях грузики движутся вдоль одной прямой?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого грузика: $m_1$

Масса второго грузика: $m_2$

Жесткость пружины: $\text{k}$

Найти:

Период свободных колебаний системы: $\text{T}$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух грузиков массами $m_1$ и $m_2$, соединенных пружиной жесткостью $\text{k}$. Система находится на гладкой горизонтальной поверхности, поэтому силой трения можно пренебречь. Внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют, следовательно, центр масс системы движется равномерно и прямолинейно или покоится. Можно перейти в систему отсчета, связанную с центром масс, где он неподвижен.

Однако удобнее рассмотреть относительное движение грузиков. Пусть $x_1$ и $x_2$ – координаты грузиков вдоль оси, по которой происходят колебания. Сила упругости, действующая на каждый из грузиков, зависит от растяжения или сжатия пружины. Пусть $l_0$ – длина пружины в недеформированном состоянии. Тогда сила упругости, действующая на грузики, равна $F_{упр} = k |(x_2 - x_1) - l_0|$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого грузика в проекции на ось колебаний:

Для первого грузика: $m_1 \ddot{x}_1 = k(x_2 - x_1 - l_0)$

Для второго грузика: $m_2 \ddot{x}_2 = -k(x_2 - x_1 - l_0)$

где $\ddot{x}_1$ и $\ddot{x}_2$ – ускорения грузиков.

Нас интересуют колебания, то есть изменение расстояния между грузиками. Введем относительную координату $x = x_2 - x_1$, которая представляет собой длину пружины. Тогда относительное ускорение равно $\ddot{x} = \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1$.

Выразим ускорения из уравнений движения:

$\ddot{x}_1 = \frac{k}{m_1}(x - l_0)$

$\ddot{x}_2 = -\frac{k}{m_2}(x - l_0)$

Подставим эти выражения в формулу для относительного ускорения:

$\ddot{x} = \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1 = -\frac{k}{m_2}(x - l_0) - \frac{k}{m_1}(x - l_0)$

$\ddot{x} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) (x - l_0)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{m_2 + m_1}{m_1 m_2}$

Тогда уравнение движения для относительной координаты принимает вид:

$\ddot{x} = -k \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} (x - l_0)$

Введем новую переменную $\Delta x = x - l_0$, которая представляет собой удлинение пружины. Тогда $\ddot{\Delta x} = \ddot{x}$, и уравнение переписывается как:

$\ddot{\Delta x} + \left( k \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) \Delta x = 0$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{y} + \omega^2 y = 0$, где $\omega$ – циклическая частота колебаний.

Сравнивая уравнения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = k \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$

Величину $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ называют приведенной массой системы. Тогда $\omega^2 = \frac{k}{\mu}$.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Следовательно, период свободных колебаний данной системы равен:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{k \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.