Номер 7.18, страница 40 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.18, страница 40.

Условие.

7.18*. Когда я наконец добрался до Северного полюса, я обнаружил земную ось, торчащую из бездонного колодца. Я ухватился за нее и заскользил вниз — ось оказалась совершенно гладкой. Скоро я вынырнул вверх ногами на Южном полюсе. Сможете ли вы сказать, как скоро? С какой скоростью я пролетал через центр Земли? В расчетах считайте Землю однородным шаром и пренебрегите сопротивлением воздуха.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Задача описывает гипотетическое падение сквозь туннель, проходящий через центр Земли. Будем использовать справочные данные.

Радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Время полета от одного полюса до другого, $t - ?$

Скорость в центре Земли, $v_{ц} - ?$

Решение:

Когда тело находится внутри Земли на расстоянии $\text{r}$ от ее центра, сила гравитационного притяжения создается только той массой Земли, которая заключена в сфере радиуса $\text{r}$ (согласно теореме Гаусса для гравитации). Считая Землю однородным шаром с плотностью $\rho$, сила притяжения $F(r)$ будет равна:

$F(r) = -G \frac{m M_r}{r^2}$

где $\text{m}$ — масса тела, а $M_r$ — масса части Земли внутри сферы радиуса $\text{r}$.

Плотность Земли $\rho = \frac{M_З}{V_З} = \frac{M_З}{\frac{4}{3}\pi R_З^3}$, где $M_З$ и $R_З$ — полная масса и радиус Земли. Тогда $M_r = \rho \cdot V_r = \left(\frac{M_З}{\frac{4}{3}\pi R_З^3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = M_З \frac{r^3}{R_З^3}$.

Подставим $M_r$ в формулу для силы:

$F(r) = -G \frac{m}{r^2} \left( M_З \frac{r^3}{R_З^3} \right) = - \left( \frac{G m M_З}{R_З^3} \right) r$

Сила $F(r)$ пропорциональна смещению $\text{r}$ и направлена к центру Земли, то есть является возвращающей силой. Это условие для гармонических колебаний, где $F = -kr$. Здесь "коэффициент жесткости" $k = \frac{G m M_З}{R_З^3}$.

Движение тела описывается уравнением $m a = F(r)$, или $m \frac{d^2r}{dt^2} = -kr$. Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З^3}}$.

Упростим выражение для частоты, используя известное значение $g = \frac{G M_З}{R_З^2}$, откуда $G M_З = g R_З^2$.

$\omega = \sqrt{\frac{g R_З^2}{R_З^3}} = \sqrt{\frac{g}{R_З}}$

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

Сможете ли вы сказать, как скоро?

Полет от Северного полюса (максимальное отклонение) до Южного полюса (противоположное максимальное отклонение) представляет собой ровно половину периода гармонического колебания. Период колебаний $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R_З}{g}}$.

Следовательно, время полета $\text{t}$ равно:

$t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{R_З}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \pi \sqrt{\frac{6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 3.1416 \cdot \sqrt{653061 \text{ с}^2} \approx 3.1416 \cdot 808.1 \text{ с} \approx 2539 \text{ с}$

Переведем это время в минуты: $t = \frac{2539}{60} \approx 42.3 \text{ мин}$.

Ответ: примерно через 42.3 минуты.

С какой скоростью я пролетал через центр Земли?

Максимальная скорость при гармонических колебаниях достигается в положении равновесия, то есть в центре Земли. Амплитуда колебаний $\text{A}$ в нашем случае равна радиусу Земли, $A = R_З$.

Максимальная скорость $v_{ц} = v_{max}$ вычисляется по формуле:

$v_{ц} = A \omega = R_З \sqrt{\frac{g}{R_З}} = \sqrt{g R_З}$

Эта формула совпадает с формулой первой космической скорости.

Подставим числовые значения:

$v_{ц} = \sqrt{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}} = \sqrt{62.72 \cdot 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 7920 \text{ м/с}$

Выразим скорость в километрах в секунду: $v_{ц} \approx 7.92 \text{ км/с}$.

Ответ: скорость при пролете через центр Земли составляет примерно 7.92 км/с.